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On some series of functions. I, II. (English) JFM 56.0254.01

Die Verf. untersuchen Eigenschaften von Reihen der Form \(\sum \varepsilon_n c_n f_n(x)\), wobei die Zahlen \(c_n\) und die Funktionen \(f_n(x)\) gegeben und die Zahlen \(\varepsilon_n\) willkürliche Zahlen vom absoluten Betrage 1 sind. In der ersten Arbeit werden die Zahlen \(\varepsilon_n\) auf reelle Werte, d. h. auf \(\pm 1\), beschränkt; in der zweiten Arbeit wird gezeigt, daß die meisten unter dieser Einschränkung gewonnenen Ergebnisse auch noch gelten, wenn für die Zahlen \(\varepsilon_n\) komplexe Werte zugelassen werden. Die erhaltenen Ergebnisse sind Aussagen, die für “fast alle” zulässigen Wahlen der Zahlen \(\varepsilon_n\) gelten, und die die \(f_n(x)\) betreffenden Annahmen sind derart, daß die Konvergenz oder Divergenz von \(\sum |c_n|^2\) die entscheidende Rolle spielt. Das “fast alle” in der obigen Formulierung bezieht sich auf einen Hilfsparameter \(t\), von dem die Zahlen \(\varepsilon_n\) abhängen sollen. So ist in der ersten Arbeit \(\varepsilon_n\) die Rademachersche Funktion: \[ \varphi_n(t) = +1 \;\;\text{ oder } \;\;-1, \] je nachdem die \(n\)-te Ziffer in der dyadischen Entwicklung von \(t\) (\(0 < t < 1\)) gleich 0 oder 1 ist. In der zweiten Arbeit ist \(\varepsilon_n\) die Steinhaussche Funktion: \[ \psi_n(t) = e^{2\pi i \vartheta_n(t)}; \] dabei ist \[ \vartheta_n(t) = 0, \;\vartheta_{n0} \vartheta_{n1} \vartheta_{n2} \vartheta_{n3} \dots, \] wenn in dyadischer Entwicklung \[ t = 0, \;\vartheta_{00} \vartheta_{10} \vartheta_{01} \vartheta_{20} \vartheta_{11} \vartheta_{02} \vartheta_{30} \dots \] ist. Die beiden Arbeiten enthalten mehrere Sätze von beträchtlichem Interesse, von denen einige vorher von Rademacher und einige von Steinhaus bewiesen worden sind. Einige der interessantesten Resultate sind die folgenden:
(1) Verallgemeinerung eines Satzes von Littlewood: Wenn \[ \sum |c_n|^2 \leqq 1, \;z =r e^{i\vartheta}, \;S_t(z) = \sum \varepsilon_n c_n z^n \quad (r \leqq 1) \] ist, dann gilt für fast alle \(t\) \[ S_t(z) = o\left\{\sqrt{\log \left(\frac{1}{1-r}\right)}\right\} \] gleichmäßig in \(\vartheta\).
(2) Wenn \(\sum |c_n|^2 \log^{1+\varepsilon}n\) für ein gewisses \(\varepsilon > 0\) konvergiert, dann ist die Funktion \(\sum \varepsilon_n c_n z^n\) für fast alle \(t\) stetig in \(|z| \leqq 1\). Für \(\varepsilon = 0\) gilt dieser Satz nicht.
(3) Für fast alle \(t\) gilt \[ \limsup \frac{\left|\sum_{m=0}^n \psi_m(t)\right|}{\sqrt{n\log \log n}} = 1; \] dabei bezeichnet \(\psi_m(t)\) die Steinhaussche Funktion. Vgl. dazu das Ergebnis von Khintchine (1924; F. d. M. 50, 344 (JFM 50.0344.*)-345), daß für die Rademacherschen Funktionen gilt: \[ \limsup \frac{\left|\sum_{m=0}^n \varphi_m(t)\right|}{\sqrt{n\log \log n}} = \sqrt{2}. \]
(4) Spezialfälle von Ergebnissen der Arbeit: Wenn \(\sum c_n z^n\) den Konvergenzradius Eins hat, dann konvergiert oder divergiert \(\sum \varepsilon_n c_n z^n\) für fast alle \(t\) fast überall auf \(| z | =1\), je nachdem \(\sum |c_n|^2\) konvergent oder divergent ist.
(5) Ein Satz, der den Verf. von Steinhaus mitgeteilt worden ist: Wenn \(a_n\) und \(b_n\) reell sind, \(\sum(a_n^2 + b_n^2)\) divergiert, und mit der Rademacherschen Funktion \(\varphi_n(t)\) \[ \eta_n(t) = \frac 12 + \frac 12 \varphi_n(t) \] (d. h. gleich 1 oder 0) ist, dann ist für fast alle \(t\) \[ \sum \eta_n(t) (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] nicht Fourierreihe.
Vgl. ferner Rademacher (1922; F. d. M. 48, 485 (JFM 48.0485.*)-486); A. Khintchine und A. Kolmogoroff, “Über Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden” (Moscou, Rec. Math. 32 (1926), 668-677; F. d. M. 52); Steinhaus (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 187). (IV 2, 4.)

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