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Recherches sur les dérivées successives des fonctions analytiques. Généralisation de la série d’Abel. (French) JFM 56.0260.01

Hilfsmittel der Untersuchung sind die verallgemeinerten Abelschen Reihen. Der Verf. denkt sich eine Folge \(x_0, x_1, \dots\) von komplexen Zahlen gegeben und setzt \[ P_0(x) = 1, \quad P_n(x) = n!\, \int_{x_0}^x dx^\prime \int_{x_1}^{x^\prime} dx^{\prime\prime} \dots \int_{x_{n-1}}^{x^{(n-1)}} dx^{(n)}. \] Betrachtet werden die Reihen \[ (\varSigma) \qquad \qquad \qquad f(x_0) + \frac{1}{1!} f^\prime(x_1) P_1(x) + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_n) P_n(x) + \dots, \hskip2cm \] die verallgemeinerte Abelsche Reihen der analytischen Funktion \(f(x)\) heißen. Mau setze \(u_\nu = |x_\nu - x_{\nu+1}|\). Dann lautet Satz (1): Ist \(\sum u_\nu\) konvergent und \(x_\nu \to X\), und \(f(x)\) in \(|x - X| < R\) regulär, so konvergiert (\(\varSigma\)) in diesem Kreise gleichmäßig und stellt \(f(x)\) dar. Satz (2): Ist \(f(x) \neq 0\) und regulär in \(|x - X | < R\), ist \(f^{(n)}(x_n) = 0\) und \(x_n \to X\), \(\limsup \, n |u_n| = L\), \(L > 0\), so ist \[ R \leqq L \cdot e. \]
Weiter wird die Entwickelbarkeit ganzer Funktionen der Ordnung \(\varrho\) und vom Grad \(A\) untersucht. Der Grad \(A\) einer ganzen Funktion \[ f(x) = \sum c_\nu x^\nu \] der Ordnung \(\varrho\) wird dabei durch \[ \limsup\limits_{n\to\infty} \, n^{\tfrac{1}{\varrho}} \root\uproot 3 n\of{|c_n|} = (Ae\varrho)^{\tfrac{1}{\varrho}} \] definiert. Man setze \(s_n = \sum\limits_0^{n-1} u_\nu\). Satz (3): Ist dann \[ \limsup\limits_{n\to\infty} = \frac{s_n}{n^{\tfrac{1}{\varrho}}} = \tau, \quad \varrho > 0, \quad \tau \geqq 0, \] so ist jede ganze Funktion der Ordnung \(\varrho\) vom Grad \(A\) in eine Reihe \(\sum\) entwickelbar für alle \(x\), falls \[ \varrho A\tau^\varrho < \omega^\varrho (1 + \omega)^{1-\varrho} \] ist, wo \(\omega\) die positive Wurzel von \[ \omega^\varrho e^{\omega + 1} = 1 \] bedeutet. Dieser Entwicklungssatz wird in einem Zusatz noch erweitert und auch auf Funktionen der Ordnungen 0 und \(\infty\) ausgedehnt. Aus Satz (3) ergeben sich Folgerungen über die Nullstellen der Ableitungen einer ganzen Funktion der Ordnung \(\varrho\) und des Grades \(A\). Ist z. B. \(1 < \varrho < \infty\), \(0 < A < \infty\), so ist \[ \liminf\limits_{n\to\infty} \frac{s_n}{n^{\tfrac{1}{\varrho}}} \geqq \frac{\omega (\omega + 1)^{\tfrac{1}{\varrho} 1}}{(A\varrho)^{\tfrac{1}{\varrho}}}, \] wenn man in \(s_n\) als \(x_n\) eine Nullstelle von \(f^{(n)}(x)\) wählt. Insbesondere können also nicht alle Ableitungen Nullstellen in \(|x| < \dfrac{1}{2e A}\) besitzen.
In Kap. V zeigt der Verf. an einem Beispiel, daß auch im Reellen bei nicht-analytischen Funktionen die Methode Auskünfte über die Verteilung der Nullstellen der sukzessiven Ableitungen gibt.
Kap. VI untersucht allgemein die Konvergenz- und Darstellungseigenschaften von Reihen \(\sum c_n P_n(x)\). Es ergeben sich Anwendungen auf die Frage nach analytischen Funktionen mit gegebenen \(f^{(n)}(x_n) = n! c_n (n = 0, 1, \dots)\). Satz (8a). Es sei \(x_n \to X\). Dann ist \[ \limsup\limits_{n\to\infty} \root\uproot 3 n\of{|c_n|} < \infty \] die notwendige Bedingung für die Lösbarkeit des Interpolationsproblems. Wenn \(\sum u_\nu\) konvergiert, so ist diese Bedingung auch hinreichend. Es gibt dann nur eine Lösung, die durch \(\sum c_n P_n(x)\) gegeben ist.
Satz 8b. Ist die oben erklärte Zahl \(\tau = 0\), \(\varrho > 0\), \(A \geqq 0\), so existiert dann und nur dann eine ganze Funktion der Ordnung \(\varrho\) vom Grad \(A\), für die \(f^{(n)}(x_n) = n! c_n\) ist, wenn \[ \limsup\limits_{n\to\infty} n^{\tfrac{1}{\varrho}} \root\uproot 3 n\of{|c_n|} \leqq (Ae\varrho)^{\tfrac{1}{\varrho}} \] ist. Ein entsprechendes Ergebnis wird auch für \(\tau > 0\) angegeben.
Kap. VII enthält Aussagen über die \(\underset{\varrho \leqq R} \min \left|f^{(n)}\left(\varrho e^{i\vartheta}\right)\right|\). Kap. VIII behandelt analoge Fragen für unbegrenzt differenzierbare Funktionen im reellen.

MSC:

30-XX Functions of a complex variable
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