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A maximal theorem with function-theoretic applications. (English) JFM 56.0264.02

In der Arbeit wird folgende funktionentheoretische Frage behandelt:
Es sei \(\lambda > 0\), \(f(z) = f(r \cdot e^{i\vartheta})\) regulär für \(r \leqq 1\), \[ F(\vartheta) = \underset{0\leqq r \leqq 1} {\text{ Max }} |f|. \] Gilt dann eine Ungleichung von der Form \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} (F(\vartheta))^\lambda \, d\vartheta \leqq A \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |f(e^{i\vartheta})|^\lambda \, d\vartheta \] mit nur von \(\lambda\) abhängendem \(A\)?
Die Untersuchung geht aus von einer elementaren Betrachtung. Es handelt sich darum, zu zeigen, daß eine gewisse aus Mittelwerten einer gegebenen Zahlenfolge gebildete Summe dann den größten Wert hat, wenn die Zahlen in fallender Reihenfolge gegeben sind. Es ergeben sich drei Sätze, die in Integralfassung folgendermaßen lauten: \(f(x)\) sei im Intervall \((0, a)\) positiv, beschränkt und meßbar. \(m(y)\) sei das Maß der \(x\)-Menge mit \(f(x) \geqq y\). Für \(0 \leqq x \leqq a\) sei \(f^*(x)\) definiert durch \[ f^*(m(y)) = y \qquad (0 \leqq m(y) \leqq a). \] Hat \(m(y)\) eine Unstetigkeitsstelle mit einem Sprung von \(\mu_1\) auf \(\mu_2\), so ist \(f^*\) konstant im Intervall \((\mu_1, \mu_2)\). Es sei gesetzt \[ A(x, \xi, f) = \begin{cases} \frac{1}{x - \xi} \int\limits_\xi^x f(t) \, dt & \text{ für } \;0 \leqq \xi < x, \\ f(x) & \text{ für } \;\xi = x \end{cases} \] und \[ \varTheta(x, f) = \underset{0 \leqq \xi \leqq x} {\text{ Max }} A (x, \xi, f). \] \(s(x)\) sei eine stetige und wachsende Funktion. Dann ist \[ \int_0^a s(A(x, 0, f)) \, dx \leqq \int_0^a s(A (x, 0, f^*)) \, dx, \tag{1} \]
\[ \int_0^a s(\varTheta(x, f)) \, dx \leqq \int_0^a s(\varTheta (x, f^*)) \, dx, \tag{2} \]
\[ \int_0^a s(A(x, \xi, f)) \, dx \leqq \int_0^a s(A (x, 0, f^*)) \, dx \tag{3} \] (\(\xi = \xi (x)\) meßbar mit \(0 \leqq \xi \leqq x\)).
Aus diesen Sätzen werden dann im Spezialfall \(s(x) = x^k\) (\(k\) ganz \(\geqq 1\)) Ungleichungen hergeleitet, wobei der Fall \(k = 1\) gesondert betrachtet werden muß; in diesem Fall spielt folgende von Zygmund (Fundamenta 13 (1929), 284-303; F. d. M. \(55_{\text{II}}\)) eingeführte Begriffsbildung eine Rolle: \(f(x)\) heißt in \((a, b)\) zur Klasse Z gehörig, wenn \[ \int_a^b |f| \, \log^+ |f| \, dx \] mit \[ \log^+ |f| = \begin{cases} \log |f| & \text{ für } \;|f| \geqq 1, \\ 0 & \text{ für } \;|f| < 1 \end{cases} \] existiert. Offenbar enthält \(Z\) die in \((a, b)\) integrierbaren Funktionen.
Im funktionentheoretischen Teil der Arbeit werden diese Ergebnisse auf integrierbare und periodische Funktionen (mit der Periode \(2\pi\)) angewendet. Dabei werden folgende Ausdrücke betrachtet: \[ M(\vartheta, f) = \underset{0 < |t| \leqq \pi} {\text{ Max }} \left| \frac{1}{t}\int_0^t f(\vartheta + x) \, dx\right|, \]
\[ \overline{M}(\vartheta, f) = \underset{0 < |t| \leqq \pi} {\text{ Max }} \left( \frac{1}{t}\int_0^t |f(\vartheta + x)| \, dx\right), \]
\[ N(\vartheta, f) = \underset{|t| \leqq \pi} {\text{ Max }} \left( \frac{1}{t}\int_0^t |f(\vartheta + x)| \, dx\right). \] Es ergibt sich zunächst:
(4) Mit ganzem \(k > 1\) sei \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |f(re^{i\vartheta})|^k \, d\vartheta \leqq C^k; \] dann ist \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |F|^k \, d\vartheta \leqq A_1C^k \] mit positiven), von \(f\) unabhängigem \(A_1\).
(5) Ist \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |f| \log^+ |f|\, d\vartheta \leqq C, \] so ist \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} F \, d\vartheta < A_1C + A_2 \] mit positiven, von \(f\) unabhängigen \(A_1\) und \(A_2\). In (4) und (5) bezeichnet \(F\) einen der Ausdrücke \(M\), \(\overline{M}\) und \(N\).
Die winteren Untersuchungen beziehen sich auf Gebilde der Form \[ h(\vartheta, p) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} f(\vartheta + t) \cdot \chi(t, p) \, dt, \] wobei \(p\) ein Parameter ist und \(\chi\) der Bedingung \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \chi(t, p) \, dt = 1 \] unterliegt; insbesondere spielen dabei die Fälle \[ p = n, \quad \chi = \frac{\sin\left(n + \tfrac 12\right) t}{\sin \tfrac{t}{2}} \quad (Fourier), \]
\[ p = n, \quad \chi = \frac{\left(\sin\left(\tfrac{n}{2} t\right) \right)^2}{n\left(\sin \tfrac{t}{2}\right)^2} \quad (\mathit{Fejér}), \] und \[ p = r, \quad \chi = \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos t + r^2} \quad (Poisson) \] eine Rolle. Von ausschlaggebender Bedeutung für die Untersuchung ist hierbei, ob für \(\chi\) eine Ungleichung der Form \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} \left| t\frac{\partial \omega}{\partial t}\right| \, dt \leqq B \] angesetzt werden kann, wo \(B\) von \(p\) unabhängig und co entweder \(\chi\) selbst oder eine Majorante von \(\chi\) ist.
Schließlich gelangen die Verf. zu folgendem Resultat:
Es sei \(\lambda\) positiv, \(f(z)\) regulär in \(r < 1\) (\(z = re^{i\vartheta})\), \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} |f(z)|^\lambda \, d\vartheta < C^\lambda \quad (r < 1), \] \(S_\alpha(\vartheta)\) mit \(0 \leqq \alpha < \frac{\pi}{2}\) der “drachenförmige” Bereich, der dadurch entsteht, daß man an den zu \(e^{i\vartheta}\) gehörigen Radiusvektor in \(e^{i\vartheta}\) nach beiden Seiten den Winkel \(\alpha\) anträgt und auf die entstehenden Halbstrahle vom Nullpunkt aus Lote fällt, und \[ F = \underset{S_\alpha(\vartheta)} {\text{ Max }} | f(z) |. \] Dann ist mit nur von \(\lambda\) und \(\alpha\) abhängendem \(A\) \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} |F(\vartheta)|^\lambda \, d\vartheta \leqq AC^\lambda. \] (IV 2, 3 D.)

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References:

[1] Another proof has since been found by Mr. R. E. A. C. Paley, and will be published in theProceedings of the London Mathematical Society.
[2] The arguments used in §§ 5–6 are indeed mostly of the type which are intuitive to a student of cricket averages. A batsman’s average is increased by his playing an innings greater than his present average; if his average is increased by playing an inningsx, it is further increased by playing next an inningsy>x; and so forth.
[3] If the innings to date are 82, 4, 133, 0, 43, 58, 65, 53, 86, 30, the batsman says to himself at any rate my average for my last 8 innings is 58.5’ (a not uncommon psychology).
[4] Our original proof of this lemma was much less satisfactory; the present one is due in substance to Mr T. W. Chaundy.
[5] In what follows the symbol ’Max’, when it refers to an infinite aggregate of values, is always to be interpreted in the sense of upper bound.
[6] We suppress the straightforward but tiresome details of the proof.
[7] See for example G. H. Hardy, ’Note on a theorem of Hilbert’,Math. Zeitschrift, 6 (1919), 314–317, and ’Notes on some points in the integral calculus’,Messenger of Math., 54 (1925), 150–156; and E. B. Elliott, ’A simple exposition of some recently proved facts as to convergeney’,Journal London Math. Soc., 1 (1926), 93–96. A considerable number of other proofs have been given by other writers in theJournal of the London Mathematical Society. · JFM 47.0207.01
[8] This would not necessarily be true if the interval were infinite.
[9] A. Zygmund, ’Sur les fonctions conjuguées,’Fundamenta Math., 13 (1929), 284–303. · JFM 55.0751.02
[10] This very useful inequality is due to W. H. Young, ’On a certain series of Fourier’,Proc. London Math. Soc. (2), 11 (1913), 357–366. · JFM 43.0324.03
[11] A will not occur again in the sense of Section III. ConstantsB, C in future presserve their identity.
[12] Sn({\(\theta\)}) is formed from the firstn+1 terms of the Fourier series off({\(\theta\)}), {\(\sigma\)}n({\(\theta\)}) from the firstn.
[13] When |{\(\theta\)}|<{\(\sigma\)} the maximum is given byr=1, and when |{\(\theta\)}|>1/2{\(\pi\)} byr=0.
[14] The usefulness of a kernel of the type ofX was first pointed out by Fejér. See L. Fejér, Über die arithmetischen Mittel erster Ordnung der Fourierreihe’,Göttinger Nachrichten, 1925, 13–17.
[15] E. Kogbetliantz, ’Les séries trigonométriques et les séries sphériques’,Annales de l’Ecole Normale (3), 40 (1923), 259–323.
[16] There is of course no particular point in the precise shape ofS{\(\alpha\)}({\(\theta\)}); it is an area of fixed size and shape including all ’Stolz-paths’ toe i{\(\theta\)} inside an angle 2{\(\alpha\)}. The radius vector corresponds to {\(\alpha\)}=0.
[17] J. E. Littlewood, ’On functions subharmonic in a circle’,Journal Lond. Math. Soc., 2 (1927), 192–196. · JFM 53.0468.01
[18] F. Riesz, ’Über die Randwerte einer analytischen Funktion’,Math. Zeitschrift, 18 (1923), 87–95. · JFM 49.0225.01
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