Mathematical Notes 11: On exceptional values of power series. (English) JFM 56.0267.02

Littlewood, J. E.

Journal L. M. S. 5, 82-87 (1930).

Es sei \(f(z)\) eine im Inneren des Einheitskreises oder in der ganzen Ebene reguläre Funktion von \(z\). Mit \(\log^+ x = \text{ Max }(\log x, 0)\) sei gesetzt \[ m(r) = m (r, f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \log^+ |f(re^{i\vartheta})| \, d\vartheta. \] Mit beliebigem \(w \neq f(0)\) sei \(n(r, w)\) die Anzahl der Nullstellen von \(f - w\) im Kreise \(|z| \leqq r\), und es sei \[ N (r, w) = \int_0^r \frac{n(\varrho, w)}{\varrho} \, d\varrho \] und \[ N (r, w) = m(r) - D (r, w). \]
Im Anschluß an Valironsche Ergebnisse untersuchte Nevanlinna (Le théorème de Picard-Borel, Paris 1929 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\)), vgl. insbesondere p. 82-88 und p. 151) das Verhalten von \(D(r, w)\) genauer. Ein Teil seiner Resultate gilt nur mit Ausnahme einer Folge von \(r\)-Intervallen von endlicher Gesamtlänge; diese Ergebnisse beschreiben das Vorhalten von \(D(r, w)\) mit Ausnahme einer \(w\)-Menge vom linearen Maße Null.
Verf. zeigt, daß man den Ausschluß der \(r\)-Intervalle sowie einige andere Einschränkungen in den Nevanlinnaschen Resultaten fallen lassen kann, wenn man statt einer \(w\)-Menge vom linearen Maße Null als Ausnahmemenge eine to\(w\)-Menge vom flächenhaften Maße Null zuläßt. Er beweist:
(1) Ist \(\lim m(r, f) = \infty\) für \(r = 1\) oder \(r = \infty\), dann ist \[ \limsup \frac{D(r, w)}{\log m(r, f)} \leqq \frac 12 \] mit Ausnahme einer \(w\)-Menge vom flächenhaften Maße Null.
(2) Ist \(f(z)\) regulär in \(r < 1\), und ist \(\lim N(r, w) < \infty\) für jedes \(w\) einer gewissen Menge von positivem flächenhaftem Maße, so ist \(m(r, f)\) beschränkt.
(3) Ist \(f(z)\) regulär in \(r < 1\) oder in der ganzen \(z\)-Ebene, dann ist mit Ausnahme einer \(w\)-Menge vom flächenhaften Maße Null \[ \liminf D(r, w) < \infty. \]

Reviewer: Müller, Klaus, Studienassessor (Finsterwalde)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.