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Sur quelques propriétés des fonctions holomorphes et des fonctions entières. (French) JFM 56.0272.03
Der Beginn der Arbeit bringt einige Bemerkungen zu zwei Noten von S. Mandelbrojt (C. R. 185 (1927); 1098-1100, 1248-1249; F. d. M. 53, 282 (JFM 53.0282.*)).
Der Verf. wendet sich dann ganzen Funktionen \(f(z)=\sum c_nz^n\) und transformierten \(\sum c_ng(n)z^n\) derselben zu. Zu den betrachteten Transformierten gehören insbesondere die verallgemeinerten Riemannschen Ableitungen \[ D^\alpha f= z^{-\alpha }\sum \frac {\varGamma (n+1)}{\varGamma (n+1-\alpha )}c_nz^n. \] Es ergeben sich Aussagen über deren asymptotisches Verhalten. Aus ihnen werden Folgerungen über die Borelschen Richtungen gezogen. Ist eine Funktion in einem Winkelraum von endlicher oder unendlicher Ordnung \(\varrho \), so heißt Borelsche Richtung ein Strahl dieses Winkelraums, welcher Mittellinie eines Winkelraumes folgender Art ist: Die \(a\)-Stellen der Funktion – mit höchstens einer Ausnahme für \(a\) – dieses Winkelraums haben den Grenzexponenten \(\varrho \).
Ist dann \(f (z)\) von unendlicher Ordnung, so gibt es mindestens eine gemeinsame Borelsche Richtung von \(f (z)\) und allen seinen Transformierten \(F (z)\). Ist \(f (z)\) von endlicher Ordnung \(\varrho >\frac {1}{2}\), und bedeutet \(\alpha > 0\) eine beliebig kleine Zahl, so gibt es einen Winkelraum der Öffnung \(\frac {\pi +\alpha }{\varrho }\) und mit dem Scheitel \(z=0\), dessen Halbierende Borelsche Gerade für alle Transformierten ist. Hat \(f (z)\) eine Ordnung \(\varrho >\frac {1}{2}\), so enthält jeder Winkelraum einer Öffnung \(\frac {\pi }{\varrho }\), der einen Teilwinkelraum enthält, in dem \(f (z)\) die Ordnung \(\varrho \) hat, auch eine Borelsche Gerade für alle Ableitungen \(D^\alpha f\). Ist \(\varDelta \) eine Borelsche Richtung für \(f(z)\), so gibt es eine Borelsche Richtung \(\varDelta _\alpha \) für \(D^\alpha f\), die mit \(\varDelta \) einen Winkel bildet, der höchstens gleich \(\frac {\pi }{\varrho }\) ist. Bei unendlicher Ordnung von \(f (z)\) ist die Menge der Borelschen Richtungen für alle \(D^\alpha f\) die gleiche. Hat \(f (z)\) eine endliche Ordnung \(\varrho >1\) und hat \(f (z)\) nur zwei Borelsche Richtungen, die einen Winkel \(\frac {\pi }{\varrho }\) miteinander bilden, so sind diese Richtungen auch Borelsche Richtungen für alle \(D^\alpha f\).

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References:
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