Sur les familles normales de fonctions analytiques. (French) JFM 56.0276.02

Valiron, G.

Annales Ecole norm. (3) 47, 79-92 (1930).

Gegeben ein beschränkter Bereich \(D\) und eine quasinormale Familie der Ordnung \(q\) von in \(D\) meromorphen Funktionen. Ist dann die Zahl \(a\) nicht Grenzfunktion einer Teilfolge, so gehört zu jedem \(\varepsilon > 0\) und zu jedem Teilbereich \(D'\), der ganz dem Innern von \(D\) angehört, eine Zahl \(N(D',\varepsilon )\), so daß jede Funktion der Familie in \(D'\) nach Weglassung von \(q\) Kreisen vom Radius \(\varepsilon \) höchstens \(N (D',\varepsilon )\)-mal den Wert \(a\) annimmt. (Die Kreise hängen von der Funktion ab.) Sind weiter vier Zahlen \(a_i\) gegeben, so gibt es ein \(N(D',\varepsilon, a_1,a_2,a_3,a_4)\), das die Nullstellenzahl von mindestens drei der Funktionen \(f (z) - a_i\) in dem genannten Bereich limitiert. – Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Familie von Funktionen, die in einem sphärischen Bereich \(D\) meromorph sind, daselbst quasinormal der Ordnung \(q\) ist, besteht darin, daß zu jedem Paar positiver Zahlen \(\varepsilon \), \(\varepsilon '\) und zu jedem inneren Teilbereich \(D'\) ein \(\eta (D, \varepsilon,\varepsilon ')\) gehört, so daß (he sphärische Distanz \(|f(z),f (z')|<\varepsilon \), sobald \(|z-z'| < \eta (D',\varepsilon,\varepsilon ')\) ist, und \(z\), \(z'\) einem mit \(f(z)\) wechselnden Bereich angehören, der aus \(D'\) durch Weglassen von \(q\) Kreisen vom Radius \(\varepsilon '\) hervorgeht.
Ein zweiter Teil der Arbeit befaßt sich mit algebroiden Funktionen. Das Hauptergebnis, aus dem verschiedene Folgerungen gezogen werden, ist dieses: Hat die algebroide Funktion \(u(z)\) höchstens \(\nu \) Zweige, ist sie in \(|z|<1\) beschränkt, und nimmt sie dort die Werte 0, 1 nicht an, haben weiter je zwei Verzweigungspunkte mindestens den Abstand \(d\) voneinander, so ist in \(|z|<r<1\) für jeden Zweig \[ |u(z)|< \theta (u(0),r,d,\nu ), \] und für \(|u(0)| < A\) ist \[ |u(z)|< \theta _1(A,r,l,\nu ). \] Die Funktionen \(\theta \), \(\theta _1\), hängen nur von den angeschriebenen Argumenten ab. Ein letzter Abschnitt verallgemeinert Sätze von Fatou und H. Cartan.
Wenn \(f(z)\) einer normalen Familie \(F\) von Funktionen angehört, die in \(|z|<1\) meromorph sind und 0 und \(\infty \) nicht als Grenzfunktion haben, dann gehört zu jedem \(r<1\), \(\gamma >0\) ein \(K(r,\gamma,F)\), so daß \[ \frac {f(z)}{f'(z)}< K(r,\gamma,F) \] für jedes Paar von Zahlen \(|z| <r\), \(|z'| <r\), die außerhalb gewisser Kreise von der Radiensumme \(\gamma \) um die Nullstellen und Pole von \(f (z)\) liegen.
Weiter gibt es dann ein \(\alpha (r, \gamma )\), so daß \[ M(r)<K\bigl(m(r)+m(r)^{1/\alpha }\bigr) \] ist, wo \(M (r)\) und \(m (r)\) Maximum und Minimum von \(|f(z)|\) in dem von gewissen Kreisen der Radiensumme \(\gamma \) befreiten \(|z| < r\) sind.

Reviewer: Bieberbach, L., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.