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Über das Zentrumproblem. (Mit besonderer Berücksichtigung der Lückenreihen.). (German) JFM 56.0282.01
Berichte Leipzig 82, 243-250 (1930).
Bei dein Zentrumproblem (vgl. die ausführliche Formulierung im vorangehendem Referat) handelt es sich um die Frage, wann die Schrödersche Funktionalgleichung für eme vorgegebene, nicht bereits in der Form \[ f(z) = S^{-1}(f'(\zeta )S(z)) \] bekannte Funktion \(f(z)\) in der Umgebung eines indifferenten Fixpunktes \(\zeta (|f'(\zeta )|=1)\) lösbar ist.
In der vorliegenden Arbeit wird durch Betrachtungen über die Güte der Approximation der Identität durch die Iterierten einer Zentrumsfunktion einerseits und die Iterierten eines nichtlinearen Polynoms andererseits zunächst gezeigt, daß ein nichtlineares Polynom \(P(z)\) in solchen Fixpunkten \(\zeta = P(z)\), deren Drehwinkel \(\varphi = \text{arg} P'(\zeta )\) gewisse transzendente Vielfache einer Drehung sind, kein Zentrum besitzen kann. Dieses Resultat hat Verf. bereits früher auf anderem Wege gewonnen (F. d. M. 53, 303 (JFM 53.0303.*); 55, 207). Das Verfahren wird dann auf gewisse Lückenreihen übertragen; insbesondere wird die Unmöglichkeit eines Zentrums im Entwicklungspunkt unter Voraussetzungen bewiesen, die mit den Bedingungen, unter denen in den bekannten Lückensätzen die Nichtfortsetzbarkeit bewiesen wird, eine bemerkenswerte Ähnlichkeit besitzen.