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Über die Werteverteilung der Riemannschen Zetafunktion. (German) JFM 56.0287.01
Die Verf. betrachten die Verteilung der Werte von log \(\zeta (s)\) (weil bei log \(\zeta (s)\) die Eulersche Produktdarstellung von \(\zeta (s)\) eine handlichere Form annimmt als bei \(\zeta (s)\)) in der Halbebene \(\sigma > 1\) (\(s = \sigma + it\)). Die Arbeit zerfällt in zwei Teile: Im ersten wird das Verhalten der Funktion log \(\zeta (s)\) auf einer vertikalen Geraden \(\sigma = \sigma_0 > 1\) untersucht, und zwar die Wahrscheinlichkeit (in einem näher zu präzisierenden Sinne), mit der der Wert von log \(\zeta (\sigma_0 + it)\) in der Nähe eines gewissen Punktes der abgeschlossenen Hülle derjenigen Punktmenge liegt, die log \(\zeta (\sigma_0 + it)\) für \(-\infty < t < +\infty\) durchläuft. Im zweiten Teil betrachten die Verf. das Verhalten von log \(\zeta (s)\) in einem Streifen von der Form \[ 1 < \sigma_1 < \sigma < \sigma_2 \tag{1} \] und untersuchen die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Funktion log \(\zeta (s)\) in (1) einen gewissen Wert aus der Menge annimmt, die sie in (1) durchläuft.
Bekanntlich ist durch \[ \text{log }\zeta (s) = -\sum\limits_{n=1}^\infty\text{log }(1-p_n^{-s}) \tag{2} \] (\(p_n\) die \(n\)-te Primzahl), wo in der Summe rechts der Hauptwert des Logarithmus gemeint ist, der eindeutige reelle Zweig von log \(\zeta (s)\) gegeben, der auf der reellen Achse reell ist. Dieser Zweig von log \(\zeta (s)\) wird betrachtet.
Die Grundlage der Arbeit bilden folgende Überlegungen, die z. T. schon in früheren Arbeiten von H. Bohr durchgeführt worden sind (vgl. H. Bohr, 1912, 1913, 1914; F. d. M. 43, 330 (JFM 43.0330.*); 44, 306-307, 558-559; 45, 719. H. Bohr & R. Courant, 1914; F. d. M. 45, 718-719 sowie die Arbeit der Verf.,Om Sandsynlighedsfordelinger ved Addition af konvekse Kurver’; Skrifter København (8) 12, Nr. 3 (1929); F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)):
Zunächst wird die die Funktion log \(\zeta (s)\) auf jeder Geraden \(\sigma = \sigma_0 > 1\) darstellende gleichmäßig konvergente Reihe \[ \text{log }\zeta (s) = -\sum\limits_{n=1}^\infty \text{log }\left( 1-p_n^{-\sigma_0}\cdot e^{2\pi i\mu_n(t)}\right) \qquad (\text{mit } 2\pi\mu_n(t) = -t\log p_n) \tag{3} \] verglichen mit der Funktion \[ S(\vartheta_1,\vartheta_2,\ldots ) = -\sum\limits_{n=1}^\infty\log \left(1-p_n^{-\sigma_0}\cdot e^{2\pi i\vartheta_n}\right) \tag{4} \] der unendlich vielen Veränderlichen \(\vartheta_1,\vartheta_2,\ldots ,\) wo die Summe im ganzen \((\vartheta_1,\vartheta_2,\ldots )\)-Raum gleichmäßig konvergiert, und die man ohne Beschränkung der Allgemeinheit im Einheitswürfel \[ 0\leqq\vartheta_1 < 1, \;0\leqq\vartheta_2 < 1,\ldots \tag{5} \] betrachten kann. Der Kroneckersche Satz über diophantische Approximationen zeigt nun, daß wegen der linearen Unabhängigkeit der Zahlen \[ \log\; p_1,\log\; p_2,\ldots,\log\; p_n \] für jedes \(n\) die \(\mu_1(t), \mu_2(t),\ldots\) in ihrem Verhalten voneinander unabhängigen Veränderlichen ähneln, und daß daher zwischen (3) und (4) eine mehr als formale Verwandtschaft besteht. Es ergibt sich, daß die Wertmenge von \(S(\vartheta_1,\vartheta_2,\ldots )\) für ein festes \(\sigma_0 > 1\) gleich der abgeschlossenen Hülle \(\overline{M}(\sigma_0)\) der Wertmenge \(M(\sigma_0)\) von log \(\zeta (\sigma_0 + it)\) ist.
Der Wertevorrat von \(S\) in (5) läßt sich dann so untersuchen: Durchlaufen in \[ \sum\limits_{n=1}^\infty\log \left(1-p_n^{-\sigma_0}\cdot e^{2i\pi\vartheta_n}\right) \] die \(\vartheta_n\) unabhängig voneinander die Intervalle \[ 0\leqq\vartheta_1 < 1, \;0\leqq\vartheta_2 < 1,\ldots, \] so durchlaufen die Ausdrücke \[ 1-p_n^{-\sigma_0}\cdot e^{2i\pi\vartheta_n} \] Kreise um den Punkt \(1\) mit den Radien \(p_n^{-\sigma_0}\), und also ihre Logarithmen konvexe Kurven, in deren Inneren der Nullpunkt liegt.
Man hat also folgende Fragestellung zu betrachten: Wie verhält sich die Menge aller Summenpunkte \(\sum z_n\), wenn die \(z_n\) unabhängig voneinander konvexe Kurven durchlaufen? Für \(\overline{M}(\sigma_0)\) ergeben sich so genauere Resultate, von denen nur folgende spezielle Folgerung, die sich auch unmittelbar ergibt, benutzt wird:
Zu jedem \(a\) gibt es ein \(\sigma_0\), so daß \(\overline{M}(\sigma_0)\) \(a\) nicht enthält.
Diese Hilfsmittel werden insbesondere in folgenden Richtungen erweitert:
I. Statt des Kroneckerschen Satzes wird dessen von H. Weyl [1916; F. d. M. 46, 265–278 (JFM 46.0832.01)] herrührende Verschärfung herangezogen.
II. Es werden auch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Werte von \(S(\vartheta_1,\vartheta_2,\ldots )\) in \(\overline{M}(\sigma_0)\) untersucht.
Es ergeben sich folgende beiden Hauptresultate:
Erster Hauptsatz: Es gibt in der \(z\)-Ebene (\(z= u + iv\)) eine reelle, beschränkte, stetige, nirgends negative Funktion \(F(z)\) von der folgenden Beschaffenheit: Ist \(R(u_1 < u < u_2, v_1 < v < v_2)\) ein beliebiges parallel zu den Koordinatenachsen orientiertes Rechteck, und bezeichnet man mit \(L(T)\) die Gesamtlänge derjenigen Teilintervalle von \(-T < t < T\), in denen log \(\zeta (\sigma_0 + it)\) in \(R\) liegt, so konvergiert mit unbegrenzt wachsendem \(T\) der Quotient \(\dfrac{L(T)}{2T}\) gegen das über \(R\) erstreckte Integral der Funktion \(F(z)\): \[ \lim_{T\to\infty} \dfrac{L(T)}{2T} = \iint\limits_R F(z)\; du \; dv. \]
Zweiter Hauptsatz: Es sei \(a\) ein Wert, der von log \(\zeta (s)\) in \(\sigma_1 < \sigma < \sigma_2\) angenommen wird, und es bezeichne \(N_a(T)\) die Anzahl der (in ihrer Vielfachheit gezählten) \(a\)-Stellen von log \(\zeta (s)\) im Rechteck \(\sigma_1 < \sigma < \sigma_2\), \(-T < t < T\); dann konvergiert für \(T\to\infty\) der Quotient \(\dfrac{N_a(T)}{2T}\) gegen eine endliche, positive Zahl.
Die Verf. kündigen ferner eine Ausdehnung ihrer Ergebnisse auf die Halbebene \(\sigma > \frac{1}{2}\) an.

MSC:
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
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References:
[1] In einer groberen Ausführung kommt dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff schon in den folgenden Arbeiten vor:H. Bohr undR. Courant, Neue Anwendungen der Theorie der diophantischen Approximationen auf die Riemannsche Zetafunktion. Journ. f. Math. Bd. 144 (1914), S. 249–274.H. Bohr Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion im kritischen Streifen. Acta math. Bd. 40 (1915). S. 67–100. Der Leser braucht übrigens die zitierten Arbeiten nicht zu kennen.
[2] Für den Fall I<{\(\sigma\)}1<{\(\sigma\)}2 sieheS. Wennberg, Zur Theorie der Dirichletschen Reihen. (Dissertation, Uppsala 1920), S. 9; für den Fall I/2<{\(\sigma\)}1<{\(\sigma\)}2<IH. Bohr, loc. cit.. (Fussnote S. 3) S. 72. Für den Fall I<{\(\sigma\)}1<{\(\sigma\)}2 geben wir übrigens im folgenden einen von demWennbergschen verschiedenen Beweis. · JFM 45.0719.01
[3] In dieser Beziehung (Untersuchungen über gleichmässig konvergente Reihen) ist besonders zu erwähnen:H. Bohr, Über die Funktion \(\frac{{\zeta '}}{\zeta }(s)\) Journ. f. Math. Bd. 141 (1912). S. 217–234. Über die Bedeutung der Potenzreihen unendlich vieler Variabeln in der Theorie der Dirichletschen Reihen \(\sum {\frac{{a_n }}{{n^s }}} \) . Gött. Nachr. Math. phys. Klasse. 1913.
[4] Siehe für einen einfachen Beweis z.B. H. Bohr, Another Proof of Kronecker’s Theorem. Proc. London Math. Soc. Ser. 2, Vol. 21 (1923), p. 315–316. · JFM 48.1182.01
[5] H. Bohr, Om Addition af uendelig mange konvekse Kurver. Oversigt over D. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Forhandlinger, 1913, S. 349–374.H. Bohr ogB. Jessen, Om Sandsynlighedsfordelinger ved Addition af Konvekse Kurver. D. K. D. Vidensk. Selsk. Skrifter. 8. Række XII, 3 (1929), S. 1–82. Der Leser braucht für das Verständnis der vorliegenden Abhandlung diese Arbeiten nicht zu kennen; die Resultate die wir aus ihnen benutzen, sollen immer genau formuliert werden.
[6] Kann übergangen werden.
[7] H. Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Math. Ann. Bd. 77 (1916). S. 313–352, S. 324. In dieser Arbeit wird gleichzeitig derKroneckersche Satz bewiesen und zwar durch eine Methode, die die Gleichdichtigkeit der MengeA in Evidenz setzt. Dieselbe Beweismethode zeigt sich von Wichtigkeit für die Behandlung anderer Probleme in der Theorie der Diophantischen Approximationen. Wenn es sich aber nur um den verallgemeinertenKroneckerschen Satz handelt, kann man den Beweis mit Hilfe desKroneckerschen Satzes selbst leicht erbringen (vgl.H. Bohr undR. Courant, loc. cit. (Fussnote S. 3) S. 259). · JFM 46.0278.06
[8] Dieser Teil des Satzes (und etwas mehr) ist schon in der oben (Fussnote S. 3) erwähnten Arbeit vonH. Bohr undR. Courant bewiesen worden.
[9] Kann übergangen werden.
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