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On the zeros of certain rational functions. (English) JFM 56.0307.03
Im Anschluß an eine eigene frühere Arbeit (Bulletin A. M. S. 35 (1929), 363-370; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 177) und an eine Veröffentlichung von Nagy (1923; F. d. M. 49, 48 (JFM 49.0048.*)) über den gleichen Gegenstand sucht Verf. aus dem Charakter der gegebenen rationalen Funktionen \(f_j(z)\) und der Lage der gegebenen komplexen Zahlen \(\alpha_j\) Aufschluß zu gewinnen über die nullstellenfreien Gebiete der Funktion \[ F\,(z)=\sum\alpha_j\,f_j\,(z). \]
Zunächst wird folgender Satz bewiesen: Liegen die \(\alpha_j\) sämtlich in dem Winkelraum, dessen Scheitel der Nullpunkt, und dessen Öffnungswinkel \(\gamma\) ist (\(0\leqq \gamma<\pi \)), sind \(m\) und \(n\) zwei natürliche, von \(j\) unabhängige Zahlen, liegen für alle \(j\) und \(k\) die komplexen Zahlen \(a_{jk}\) und \(b_{jk}\) in dem gegebenen konvexen Gebiet \(K\), und setzt man \[ f_j\,(z)=\frac{(z-a_{j1})\,(z-a_{j2})\cdots(z-a_{jm})} {(z-b_{j1})(z-b_{j2})\cdots(z-b_{jm})}, \] so besteht “der geometrische Ort” \(S\) für die Nullstellen von \(F(z)\) aus denjenigen Punkten der komplexen Ebene, von denen aus \(K\) unter dem Winkel \(\varPhi\geqq \dfrac{\pi -\gamma}{m+n}\) erscheint. Dabei bedeutet die Aussage “\(S\) ist geometrischer Ort für die Nullstellen von \(F(z)\)”, daß (1) außerhalb von \(S\) keine Nullstelle liegt, (2) jeder Punkt von \(S\) durch geeignete Wahl der \(\alpha_j\), \(a_{jk}\) und \(b_{jk}\) zu einer Nullstelle von \(F(z)\) gemacht werden kann.
Der Satz enthält den Satz von Nagy und den Gaußschen Satz über die Ableitung eines Polynoms als Spezialfälle.
Unter den Erweiterungen und Anwendungen dieses Satzes sei der folgende genannt: Gegeben seien eine reguläre Kurve \(\varGamma\) und ein konvexes Gebiet \(\mathfrak K\). Es sei \(\alpha(t)\) eine komplexe Funktion, bei der für alle Punkte \(t\) auf \(\varGamma\) \[ \varkappa \leqq \text{arc}\,[\alpha\,(t)\,dt]\leqq \varkappa +\gamma<\varkappa +\pi \] gilt; ferner seien \(a_j(t)\) und \(b_j(t)\) komplexe Funktionen, bei denen für alle \(j\) und für alle Punkte \(t\) auf \(\varGamma\) die Punkte \(a_j(t)\) und \(b_j(t)\) in \(\mathfrak K\) liegen. Wird \[ f(z,t)=\frac{\bigr(z-a_1\,(t)\bigl)\,\bigr(z-a_2\,(t)\bigl) \dots \bigr(z-a_m\,(t)\bigl)}{\bigr(z-b_1\,(t)\bigl)\, \bigr(z-b_2\,(t)\bigl)\dots \bigr(z-b_n\,(t)\bigl)} \] gesetzt, so hat das Integral \[ I\,(z)=\textstyle \int\limits_{\varGamma}\displaystyle \alpha\,(t)\,f\,(z,t)\,dt, \] sofern es existiert, keine Nullstelle in demjenigen Gebiet \(S\), von dem aus \(\mathfrak K\) unter einem Winkel \(\varPhi<\dfrac{\pi -\gamma}{m+n}\) erscheint.

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