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Über die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktionen. (German) JFM 56.0310.01
Verf. untersucht die Nullstellen der beiden unvollständigen \(\Gamma\)-Funktionen
\[ P_\lambda(z)= \int_{0}^{\lambda} e^{-t} t^{z-1}\,dt,\quad Q_\lambda(z) = \int _{\lambda}^\infty e^{-t}t^{z-1}\,dt, \]
und zwar für komplexe \(\lambda\), die in dem Winkelraum
\[ \vert\operatorname{arc} \lambda\vert \le \frac{\pi }{2}-\alpha,\quad \alpha>0 \tag{1} \]
gelegen sind. Das Hauptergebnis lautet: Wenn \(\lambda\) auf dem in (1) gelegenen Strahl
\[ \lambda = \vert\lambda\vert e^{i\varphi} \tag{2} \]
ins Unendliche rückt, und wenn \(\mathfrak L\) die zu (2) in bezug auf die Achse des Reellen symmetrische, durch den Nullpunkt gehende Gerade bedeutet, so häufen sich die Nullstellen von \(P_\lambda(\lambda z)\) gegen jeden Punkt desjenigen Halbstrahls von \(\mathfrak L\), der von dem Punkt
\[ r_0(\varphi) e^{-i\varphi},\quad r_0\log\frac{r_0}{e}=\cos\varphi, \tag{3} \]
ausgeht und den Nullpunkt enthält, ferner gegen jeden Punkt der geschlossenen linsenförmigen Kurve, die durch die Gleichungen
\[ \operatorname{Re}\{(z\log z+1-z)e^{i\varphi}\}=0,\quad \operatorname{Re}\{(1-z)e^{i\varphi}\}\ge 0 \tag{4} \]
definiert ist; im Innern von (4) gilt
\[ P_\lambda(\lambda z)\sim\Gamma(\lambda z),\quad \vert\lambda\vert\to\infty. \tag{5} \]
Die Nullstellen von \(Q_\lambda(\lambda z)\) häufen sich gegen jeden Punkt der Kurve
\[ \operatorname{Re}\bigl\{(z\log z+1-z)e^{i\varphi}\bigr\}=0, \quad \operatorname{Re}\bigl\{(1-z)e^{i\varphi}\bigr\}\le 0, \tag{6}\]
die eine analoge Gestalt hat wie eine Neilsche Parabel; rechts von (6) gilt
\[ Q_\lambda(\lambda z)\sim\Gamma\,(\lambda z). \tag{7} \]
Ferner wird für großes positives \(\lambda\) die Anzahl der nicht reellen Nullstellen von \(P_\lambda(z)\) asymptotisch bestimmt.
Die Beweise dieser Ergebnisse finden sich in den Kapiteln III und IV der Arbeit; Kap. I enthält einige Hilfssätze, Kap. II die Herleitung asymptotischer Formeln für \(P_\lambda(\lambda z)\) und \(Q_\lambda(\lambda z)\).
Während die Arbeit gegenüber der bis Ende 1927 erschienenen Literatur über die unvollständige \(\Gamma\)-Funktion (Bourguet 1883, Lindhagen 1887, Nielsen 1906, Haskin 1915, Gronwall 1916, Franklin 1919, Walther 1925, Rasch 1927) einen wesentlichen Fortschritt darstellt, ist G. Rasch, wie Verf. selbst bemerkt, in einer während der Drucklegung der vorliegenden Abhandlung erschienenen Arbeit [Math. Z. 29, 300–318 (1928; JFM 54.0388.02) zu Ergebnissen gelangt, die z. T. weiterreichen.

MSC:
33B20 Incomplete beta and gamma functions (error functions, probability integral, Fresnel integrals)
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References:
[1] Bourguet,Sur la fonction Eulérienne, Acta Mathematica II (1883), S. 296–298. · JFM 15.0232.01
[2] Bourguet,Sur la fonction Eulérienne, Comptes rendus de l’Academie des Sciences de Paris 96 (1883), S. 1307–1310.
[3] Franklin,Calculation of the zeros of the funktion complementary to the incomplete Gammafunktion, Annals of Mathematics (2) XXI (1919), S. 61–63. · JFM 47.0329.02
[4] Gronwall,Sur les zéros des fonctions P(z) et Q(z) associées à la fonction gamma, Annales de l’École Normale supérieure, (3) XXXIII (1916), S. 381–393. · JFM 46.0563.05
[5] Haskin,On the zeros of the funktion P(z) complementary to the incomplete Gammafunktion, Transactions of the American Mathematical Society XVI (1915), S, 405–412.
[6] Lindhagen,Studier öfver Gammafunktionen, Dissertation Stockholm (1887).
[7] Nielsen,Handbuch der Gammafunktion, (1906), Leipzig.
[8] Rasch,Beitrag zur Theorie der unvollständigen Gammafunktionen Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, VIII (1927), 2. · JFM 53.0328.04
[9] Walther,Ueber die reellen Nullstellen der unvollständigen Gammafunktion P(z), Mathematische Zeitschrift XXIII (1925), S. 238–215. · JFM 51.0277.03
[10] Ausserdem sind mehrere Arbeiten vonRasch undHille über die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktionen im Druck. [Anmerkung bei der Korrektur im April 1929: Die Arbeiten vonRasch undHille sind inzwischen erschienen; sie lauten:G. Rasch,Ueber die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktion P(z, {\(\rho\)}). I.Die reellen Nullstellen von P(z, {\(\rho\)}) bei positivem reellem {\(\rho\)}. Mathematische Zeitschrift 29 (1928), S. 300. · JFM 54.0388.02
[11] E. Hille undG. Rasch,Ueber die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktion P(z, {\(\rho\)}). ii.Geometrisches über die Nullstellen. Mathematische Zeitschrift 29 (1928) S. 319]. · JFM 54.0388.03
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