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Sulle superficie multiple cicliche. (Italian) JFM 56.0321.03
Es sei \(F\) eine Fläche des Raumes \(S_r(x_1,x_2,\ldots,x_r)\) ohne mehrfache Punkte, \(\varPhi\) eine Fläche des Raumes \(S_{r+1}(x_1,x_2,\ldots,x_r,z)\), die eine zyklische Involution \(I_n\) zuläßt und mit \(F\) birational identisch ist. Man kann annehmen, daß \(\varPhi\) sich darstellt, indem man zu den Gleichungen von \(F\) die Gleichung \[ z^n=R(x), \] \(R\) ein Polynom in \(x_1,\ldots,x_r\), hinzufügt. Wenn keine Verzweigungen vorhanden sind, schneiden sich die Flächen \(F\) und \(R(x)=0\) \(n\)-mal längs einer Kurve \(T\), und man hat, wenn \(A\) ein hyperebener Schnitt von \(F\) ist: \[ n\varGamma\equiv nmA \] oder \[ \varGamma\equiv mA+M; \] dabei ist \(M\) ein zu \(\varPhi\) assoziierter linearer Nullteiler. Die Untersuchung von \(M\) liefert die Bedingungen für die Reduzibilität von \(\varPhi\) und für die birationale Identität zweier Flächen \(\varPhi\), woraus sich die Anzahl der verschiedenen \(\varPhi\) ergibt.
Wenn \(\varPhi\) eine Verzweigungskurve \(D\) besitzt, gelangt man mit Hilfe der Bemerkungen des Verf. bezüglich der linearen Division zu Bedingungen dafür, daß es irreduzible und birational verschiedene \(\varPhi\) gibt, und daß eine Kurve auf \(F\) Verzweigungskurve für \(\varPhi\) sei.
Unter Heranziehung der zu \(F\) gehörenden Riemannschen Fläche \(V\) untersucht Verf. die Monodromiegruppe \(\mathfrak M\) einer auf \(F\) \(n\)-wertigen algebraischen Funktion \(\varphi\); er beweist, daß, wenn \(\varphi\) auf \(F\) unverzweigt und \(\mathfrak M\) abelsch ist, die Äquivalenzen der Zyklen mit den Homologien (im Sinne der kombinatorischen Topologie) vertauschbar sind, und daß zu jedem Zykel, der homolog Null ist, die identische Substitution gehört.
Hieraus leitet Verf. einen analogen Schluß für die Flächen \(\varPhi\) her; ferner zeigt er, daß zwischen der Severischen Teilergruppe und der Gruppe der linearen Torsion in bezug auf \(F\) Isomorphismus besteht. Schließlich beweist Verf. das Existenztheorem der \(\varphi\) bezüglich einer vorgeschriebenen Monodromiegruppe. (V 5 F.)

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Full Text: Numdam EuDML