×

Sur quelques généralisations du produit d’Euler \(\prod\limits_{\nu=0}^\infty(1+x^{2^\nu})\). (French) JFM 56.0323.03

Das im Titel genannte Eulersche Produkt ist ein Spezialfall des Produktes \[ \varPhi(x)=\prod_{\nu=0}^\infty(1+x_\nu),\qquad x_{\nu+1}=\varphi(x_\nu),\;x_0=x. \tag{1} \] Dieses läßt sich transformieren in \[ \varPhi^*(x)=\prod_{\nu=0}^\infty\left(1+\frac1{x_\nu}\right),\qquad x_{\nu+1}=\varphi^*(x_\nu). \tag{2} \] Verf. hat zunächst untersucht, wann (2) für ein Polynom \(\varphi^*(x)\) konvergiert und eine algebraische Funktion \(\varPhi^*(x)\) darstellt. Ohne Beweis teilt Verf. mit, daß das genau für sieben nicht lineare und für zwei lineare Polynome möglich ist. Die sieben nichtlinearen Polynome werden einzeln aufgeführt; es finden sich darunter zwei bekannte Fälle: \[ \varphi^*(x)=x^2\text{ (\textit{Euler})}, \qquad \varphi^*(x)=2x^2-1\text{ (\textit{F. Engel}).} \] Einer der weiteren Fälle ist noch insofern von Interesse, als er eine von G. Cantor aufgestellte Vermutung über eine gewisse Produktentwicklung der Zahlen \({}>1\) widerlegt. Außerdem ergeben sich aus diesen Fällen sehr merkwürdige Formeln über gewisse Produktentwicklungen.
Verf. hat ferner das allgemeinere Problem behandelt, daß (1) für ein rationales \(\varphi(x)\) konvergiert und eine algebraische Funktion \(\varPhi(x)\) darstellt; er teilt mit, daß dieses Problem genau fünf Scharen von rationalen Funktionen zu Lösungen hat, und daß er durch Diskussion der Funktionalgleichung \[ \frac{\varPhi[\varphi(x)]}{\varPhi(x)}=\frac1{1+x} \] zu diesem Ergebnis gekommen ist.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Gallica