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Linear transformations in Hilbert space. III: Operational methods and group theory. (English) JFM 56.0357.01
Die Arbeit schließt an frühere Noten dos Verf. in Proceedings USA Academy 15 (1929); 198-200, 423-425 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\)) an. Wenn \(T\) eine selbstadjungierte Transformation und die Schar \(E_\lambda\) die entsprechende “kanonische Zerlegung der Identität” ist, so wird \(F (T)\) als die Transformation definiert, deren Feld genau diejenigen \(f\) umfaßt, für die \[ \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\lambda)|^2 dQ(E_\lambda f) \] konvergiert, und die \(f\) in \(F(T)f \) überführt, so daß \[ Q(F(T)f,g) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(\lambda) dQ(E_\lambda f, g) \] für jedes \( g\) des Hilbertschen Raumes \(\mathfrak H\). (Für die Bezeichnungen vgl. die oben angegebenen Arbeiten.)
Anwendung auf gruppentheoretische Fragen der Quantenmechanik: I. Wenn \(U_{\tau}\) \((-\infty < \tau < + \infty)\) eine Gruppe von unitären Transformationen in \(\mathfrak H\) mit \[ U_0 = I, \quad U_{-\tau} = U_{\tau}^{-1}, \quad U_{\sigma + \tau} = U_{\sigma}U_{\tau} \] ist, so gibt es eine eindeutige selbstadjungierte Transformation \(T\) mit der kanonischen Zerlegung \(E_\lambda\) der Identität derart, daß \[ Q(U_{\tau} f,g)= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \tau \lambda}dQ (E_\lambda f,g) \] ist, während \[ \frac {U_{\tau} - U_{0}}\tau f \to i T f \qquad \text{für } \tau \to 0. \] \(iT\) kann als erzeugende infinitesimale Transformation der Gruppe bezeichnet werden. – Ist umgekehrt \(T\) als selbstadjungierte Transformation gegeben, so gibt es eine einparametrige Gruppe von unitaren Transformationen der obigen Art, deren erzeugende infinitesimale Transformation gleich \(T\) ist.
II. Zwischen den selbstadjungierten Transformationen \(P_k, Q_k \) \((k=1,\dots, n)\) sollen die Heisenbergschen Relationen bestehen: \[ P_k Q_l - Q_l P_k = i\delta_{kl} I, \quad P_kP_l - P_lP_k = 0, \quad Q_kQ_l - Q_lQ_k = 0. \] \(U_{\tau}^{(k)}\)’ und \(V_{\tau}^{(k)} \) seien die durch \(iP_k\) und \(iQ_k\) erzeugten einparametrigen Gruppen von unitären Transformationen. Wenn die Transformationsschar \(U_{\sigma_1}^{(1)}\dots U_{\sigma_n}^{(n)} V_{\tau_1}^{(1)}\dots V_{\tau_n}^{(n)} \) in \(\mathfrak H\) irreduzibel ist, so gibt es eine eineindeutige isometrische Transformation \(S\) von \(\mathfrak H\) in \({\mathfrak H}_n\) derart, daß \[ SP_kS^{-1}f(x_1,\dots, x_n) = i \frac {\partial} {\partial x_k } f, \quad SQ_kS^{-1}f(x_1,\dots, x_n) = x_k f. \] Dabei ist \({\mathfrak H}_n\) der Raum aller komplexwertigen, Lebesgue-integrablen Funktionen \(f(x_1,\dots,x_n)\) mit konvergentem \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \dots \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x_1,\dots,x_n)|^2 \, dx_1 \dots dx_n. \]

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