Leçons sur quelques problèmes aux limites de la théorie des équations différentielles. (Redigees par M. Brelot.). (French) JFM 56.0391.01

Picard, E.

VIII \(+\) 271 p. 31 fig. Paris, Gauthier-Villars (Cahiers scientifiques publiés sous la direction de G. Julia, fasc. 5) (1930).

Es handelt sich bei diesem Buch um die Wiedergabe von Vorlesungen, die Verf. in den Jahren 1908-1910 und dann wieder 1928 gehalten hat. Die Ausarbeitung hat M. Brelot, Hörer der Vorlesung von 1928, besorgt; an vielen Stellen, an denen Picard nur Andeutungen der Beweise vorgetragen hat, hat Brelot eine ausführliche und präzise Darstellung gegeben.
Im ersten Teil des Buches werden Randwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen behandelt. In Kap. I gibt Verf. mit Hilfe sukzessiver Approximationen eine Lösung der Aufgabe, eine Integralkurve der Differentialgleichung \[ y'' = f(x,y,y') \tag{1} \] zu bestimmen, die durch zwei vorgeschriebene Punkte geht; Verf. schließt sich dabei an eine eigene Arbeit (Journ. de Math. (4) 9 (1893), 217-271; F. d. M. 24, 507 (JFM 24.0507.*)-508) an. Die am Schluß von Kap. I diskutierte spezielle Aufgabe, eine an zwei vorgeschriebenen Stellen, aber nicht identisch verschwindende Lösung der Differentialgleichung \(y'' = f(x, y)\) zu bestimmen, leitet zum Kap. II über, in dem Verf. diese Aufgabe für die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ y'' + \lambda A(x)y = 0 \tag{2} \] mit auf \(\langle a, b\rangle\) reellem, stetigem, nicht identisch verschwindendem \(A(x)\) und komplexem \(\lambda\) behandelt und somit in die klassische Eigenwerttheorie eintritt. In Kap. III untersucht Verf., wieder einer eigenen Arbeit (Rendiconti Palermo 29 (1910), 79-97; F. d. M. 41, 413-414) folgend, ob die Gleichung (2), wenn von \(A(x)\) neben den oben genannten Eigenschaften noch Periodizität mit der Periode \(\omega\) vorausgesetzt wird, eine Lösung mit derselben Periode besitzt. In Kap. IV leitet Verf. die allgemeinen Eigenschaften von Systemen von Orthogonalfunktionen her. In Kap. V werden Probleme der mathematischen Physik betrachtet, die sich auf die in III untersuchte Randwertaufgabe zurückführen hissen (schwingende Saite, Wärmeausbreitung in einem thermisch isolierten, sehr dünnen Stab oder Ring). In Kap. VI kehrt Verf. zu dem Problem des Kap. III zurück, das er nun auf ein System von unendlich vielen linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten zurückführt; ein kurzer Bericht über die Helge von Kochsche Theorie dieser Gleichungssysteme und der Normaldeterminanten wird eingeschoben. In Kap. VII werden verschiedene Randwertaufgaben der Gleichung (2) durch Zurückführung auf eine Fredholmsche Integralgleichung behandelt.
Den den Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung gewidmeten zweiten Teil des Buches leitet Verf. in Kap. VIII mit allgemeinen Erörterungen über harmonische Funktionen und das Dirichletsche Problem in der Ebene ein; an manchen Stellen dieses Teils verweist Verf. auf die Darstellung in seinem “Traité d’analyse” und in den “Cours d’analyse” von Goursat und von Jordan. In Kap. IX wird das Dirichletsche Problem für die Differentialgleichungen \[ \Delta u = f(x, y), \qquad (4) \quad \Delta u = c(x, y)u \qquad (5) \quad \Delta u = F(u, x, y) \tag{3} \] bearbeitet. (3) und (4) sind bekanntlich von H. A. Schwarz eingehend untersucht worden (1885; F. d. M. 17, 776 (JFM 17.0776.*)); Verf. verweist in diesem Kapitel ferner für (3) und (4) auf eine eigene Darstellung in Acta Math. 12 (1889), 323-338 (F. d. M. 21, 348 (JFM 21.0348.*)), für (5) auf eine eigene Arbeit in Journ. de Math. (4) 6 (1890), 145-210 (F. d. M. 22, 357-358), insbesondere auf Kap. VIII dieser Arbeit, sowie auf Arbeiten von Le Roy (F. d. M. 28; 312-313; 830-831; 29, 782) und Sanielevici (F. d. M. 39, 862 (JFM 39.0862.*)-863; 40, 880). Als Anwendung folgt in Kap. X eine eingehende Untersuchung von zweidimensionalen Problemen der Thermodynamik: Ausbreitung der Wärme in einem ebenen oder krummen Flächenstück mit Quellen und unter Berücksichtigung von Ausstrahlung in den Raum. In Kap. XI wird ein Abriß der Fredholmschen Integralgleichungstheorie für den Fall von einer und von zwei unabhängigen Veränderlichen gegeben; ferner enthält dieses Kapitel verschiedene Bemerkungen zur räumlichen Potentialtheorie, u. a. über die durch die Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial^2Y}{\partial\vartheta^2} + \text{cot }\vartheta\dfrac{\partial Y}{\partial\vartheta} + \dfrac{1}{\sin^2\vartheta}\dfrac{\partial^2Y}{\partial\psi^2} + n(n+1)Y = 0 \] (\(\vartheta\), \(\psi\) geographische Länge und Breite, \(n\geqq 0\)) definierten allgemeinen Kugelfunktionen \(Y_n(\vartheta, \psi )\). Im Schlußkapitel (XII) des Buches wird die Behandlung der räumlichen Potentialtheorie nach verschiedenen Richtungen weitergeführt. (IV 13.)
Besprechungen: Nature 126 (1930), 532. A. Hammerstein; Jahresbericht D. M. V. 40 (1931), 87-88 kursiv. B. Hostinský; Časopis 61 (1932), 199-200.

Reviewer: Feigl, G., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 10. Randwertaufgaben bei gewönlichen Differentialgleichungen. Entwicklungssätze.

Citations:

JFM 24.0507.*; JFM 17.0776.*; JFM 21.0348.*; JFM 39.0862.*