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Sugli autovalori per le equazioni differenziali lineari omogenee del terzo ordine. (Italian) JFM 56.0396.02
Die Aufgabe, eine für \(a\leqq x\leqq b\) nicht identisch verschwindende Lösung von \[ [\theta (x)y'(x)]^{\prime\prime} + \lambda [A(x)y(x)]' + \lambda B(x)y(x) = 0 \] (\(\theta''\), \(A'\), \(B'\) stetig; \(\theta >0\) für \(a\leqq x\leqq b\)) bei den Nebenbedingungen \[ y(a) = y(c) = y(b) = 0, \tag{*} \] wo \(c\) zwischen \(a\) und \(b\) gegeben ist, zu finden, wird auf eine lineare Integralgleichung zurückgeführt. Versteht man nämlich unter \(G(x, \xi )\) die in \(a\) und \(b\) verschwindende Greensche Funktion zu \[ [\theta (x)y'(x)]' = 0, \] so ist, wenn \[ u' = \lambda [Ay]' + \lambda By \] gesetzt wird, offenbar \[ y(x) = \int\limits_a^b G(x,\xi )u(\xi )d\xi . \] Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen \(u(x)\), und nimmt die Forderung \(y(c) = 0\) hinzu, so ergibt sich, daß jede Lösung der Integralgleichung \[ y(x) = \lambda\int\limits_a^b K(x,t)y(t)dt \] mit \[ \begin{aligned} &K(x,t) = k(x,t) - \dfrac{H(x,a)}{H(c,a)}k(c,t), \\ &H(x,t) = \int\limits_t^b G(x,\xi )d\xi, \;k(x,t)=G(x,t)A(t) + H(x,t)B(t) \end{aligned} \] genügen muß. Umgekehrt führt jede Eigenfunktion hiervon auf eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.
Es folgt eine eingehende Untersuchung des Kernes. Wenn speziell \(A(x)\) identisch verschwindet, und wenn \((x- c)B(x)\) keinen Zeichenwechsel hat, wird durch Betrachtung der Spuren des Kerns die Existenz eines Eigenwertes nachgewiesen. Hieraus kann leicht ein allgemeinerer Satz entnommen werden: Die Gleichung \[ [\theta (x)y'(x)]^{\prime\prime} + \lambda [A(x)y(x)]' + \lambda [B_1(x) + \varepsilon B_2(x)]y(x) = 0 \] (\(\theta''\), \(A\), \(B_1\), \(B_2\) stetig; \(\theta >0\); \((x-c)B_2(x)\) nicht identisch Null und ohne Zeichenwechsel in \(a\leqq x\leqq b\)) hat mit Ausnahme von höchstens drei Werten für \(\varepsilon\) stets einen Eigenwert \(\lambda\), d. h. zu diesem \(\lambda\) gibt es eine nicht identisch verschwindende Lösung \(y(x)\), die den Bedingungen (*) genügt.
Die drei Ausnahmewerte rühren daher, daß die für die Existenz ausschlaggebende Spur nach dreifacher Iteration mit der des vorher behandelten Spezialfalles durch eine kubische Gleichung in \(\varepsilon\) zusammenhängt, für deren Wurzeln kein Eigenwert gewährleistet ist.
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Full Text: Numdam EuDML