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Formal theory of irregular linear difference equations. (English) JFM 56.0402.01
Die vorliegende Arbeit bildet einen bemerkenswerten Beitrag zur formalen Theorie der linearen Differenzengleichungen und vervollständigt frühere Untersuchungen von Verf., N. E. Nörlund und C. R. Adams. Verf. betrachtet eine Gleichung \[ \sum\limits_{\nu = 0}^n a_\nu (x)y(x+n-\nu ) = 0, \tag{1} \] in der die Koeffizienten \(a_\nu (x)\) formale (d. h. konvergente oder divergente) Potenzreihen in absteigenden ganzen Potenzen von \(x^\frac{1}{p}\) (\(p = \) positive ganze Zahl) sind, die nur endlich viele positive ganze Potenzen enthalten, und weder \(a_0(x)\) noch \(a_n(x)\) identisch verschwindet. Bereits bekannte formale Lösungen von (1) sind von dem Typ \[ y(x) = x^\tfrac{mx}{lp}e^{P(x)}x^r\sum\limits_{\nu = 0}^\infty c_\nu x^{-\tfrac{\nu}{lp}}; \tag{2} \] dabei sind \(l\) und \(m\) teilerfremde ganze Zahlen, \(l\) positiv, und es ist \[ P(x) = \sum\limits_{\nu = 1}^{lp}\gamma_\nu x^\tfrac{\nu}{lp}. \] In dem einfachsten Fall, dem der formalen Lösungen von “normalem Typus”, ist \(l = 1\); in dem allgemeinen Fall ist die formale Lösung (2) von “anormalem Typus” und läßt, als Funktion der komplexen Veränderlichen \(x^\frac{1}{p}\), genau \(l\) von einander verschiedene Bestimmungen zu. Zu den obigen formalen Lösungen (2) fügt Verf. Familien von formalen Lösungen des Typus \[ s(x), \;ks(x)\log x + t(x),\ldots, s(x)(\log x)^k + t(x)(\log x)^{k-1} + \cdots + w(x) \tag{3} \] hinzu; dabei sind \(s(x), t(x),\ldots, w(x)\) formale Reihen der Form (2), die alle mit denselben Werten \(l\) und \(m\), mit demselben \(P(x)\) und mit Werten von \(r\) gebildet werden, die sich höchstens um Vielfache von \(\tfrac{1}{lp}\) voneinander unterscheiden. Der in der vorliegenden Arbeit bewiesene Hauptsatz besagt, daß – wenn die verschiedenen Bestimmungen der formalen Reihen richtig gezählt werden – die Gleichung (1) genau \(n\) linear unabhängige formale Lösungen der Typen (2), (3) zuläßt.
Der Beweis geht so vor, daß zunächst die Richtigkeit dieses Theorems gezeigt wird, wenn jede Gleichung (1) mindestens eine formale Lösung des nicht logarithmischen Typus (2) zuläßt, und dieses wird dann bewiesen durch eine Betrachtung “reduzibler” Gleichungen des Typus (1); das sind Gleichungen, bei denen die linke Seite sich als symbolisches Produkt zweier Differenzausdrücke desselben Typus, aber von Ordnungen kleiner als \(n\) ausdrücken läßt.

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References:
[1] Cf. my paper,The Generalized Riemann Problem for linear Differential Equations and the Allied Problems for Linear Difference and q-Difference Equations, Proc. Am. Acad. Arts and Sciences, vol. 49 (1913), pp. 521–568.
[2] Cf. N. E. Nörlund,Differenzenrechnung, Berlin, 1924, chap. 10.
[3] C. R. AdamsOn the Irregular Cases of Linear Ordinary Difference Equations, Trans. Am. Math. Soc., vol. 30 (1928), pp. 507–541. In this paper references to the work of Barnes, Horn, Batchelder, Perron, and Galbrun may be found. · JFM 54.0483.01
[4] General Theory of Linear Difference Equations, Trans. Am. Math. Soc., vol. 12 (1911), pp. 243–284. · JFM 42.0359.02
[5] Not even in the casen=2, in which many but not all cases have been treated by Batchelder. Batchelder has not published these results.
[6] Generalized here to the extent that we allowp to exceed I.
[7] Cf., for instance, N. E. Nörlund, Differenzenrechnung, pp. 312–313.
[8] Sec, however, N. E. Nörlund, Differenzerechnung, chap. II, § I, where a specialized case (6”) of this logarithmic type is considered for those linear difference equations of ’Fuchsian type’, in which the seriesa i(x)/ao(x) begin with a term of not higher than degree-i inx.
[9] Note that this change of variables leaves the equation of the same general form (4), although the basic integerp may be altered.
[10] As a matter of fact the symbolic factorization accomplished only involves powers ofx 1/p in the coefficients, so that the stated reducibility is effective for the original basic integer. We omit, however, the proof of this fact, which is easily made directly.
[11] Note the formal analogy here and later with the method used in the preceding paragraphs.
[12] See N. E. Nörlund Differenzenrechnung, Chap. II.
[13] All of these terms must appear when all of the roots are equal.
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