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Sur les intégrales complètes des équations linéaires et des systèmes d’équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre d’une fonction inconnue. (French) JFM 56.0408.04
Das allgemeine Integral der Differentialgleichung \[ X_1\dfrac{\partial z}{\partial x_1} + \cdots + X_n\dfrac{\partial z}{\partial x_n} = Z \] hat bekanntlich die Form \[ \varPhi (\varphi_1,\ldots, \varphi_n) = 0, \] wo \(\varPhi\) eine willkürliche Funktion der \(n\) Argumente ist, während die \(\varphi_k\) gewisse Funktionen von \(x_1,\ldots, x_n\), \(z\) sind. Verf. fragt nun, wann eine Gleichung der Form \[ \Omega (\varphi_1,\ldots, \varphi_n,a_1,\ldots, a_n) = 0 \tag{1} \] mit \(n\) willkürlichen Konstanten ein vollständiges Integral ist. Als Bedingung dafür findet er, daß die Determinante \[ \left|\begin{matrix} \dfrac{\partial\Omega}{\partial\varphi_1} & \dfrac{\partial\Omega}{\partial\varphi_2} & \cdots & \dfrac{\partial\Omega}{\partial\varphi_n} & 0 \\ \dfrac{\partial^2\Omega}{\partial\varphi_1\partial a_1} & \dfrac{\partial^2\Omega}{\partial\varphi_2\partial a_1} & \cdots & \dfrac{\partial^2\Omega}{\partial\varphi_n\partial a_1} & \dfrac{\partial\Omega}{\partial a_1} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\ \dfrac{\partial^2\Omega}{\partial\varphi_1\partial a_n} & \dfrac{\partial^2\Omega}{\partial\varphi_2\partial a_n} & \cdots & \dfrac{\partial^2\Omega}{\partial\varphi_n\partial a_n} & \dfrac{\partial\Omega}{\partial a_n} \end{matrix} \right| \tag{2} \] nicht für alle \(\varphi_k\), \(a_k\) mit \(\Omega = 0\) verschwindet. Nachdem daraus noch einige einfache Folgerungen gezogen sind, wird die entsprechende Frage auch für das als vollständig vorausgesetzte System \[ X_1^{(i)}\dfrac{\partial z}{\partial x_1} + \cdots + X_n^{(i)}\dfrac{\partial z}{\partial x_n} = Z_i \qquad (i=1,2,\ldots, s) \] behandelt, dessen allgemeines Integral \(\varPhi (\varphi_1,\ldots, \varphi_m) = 0\) lautet, wo \(m = n + 1 - s\). An Stelle der Ausdrücke (1) und (2) treten dann genau die gleichen mit \(m\) statt \(n\).

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML