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Sur une généralisation du probléme de Monge. (French) JFM 56.0410.02

Verallgemeinerungen des Mongeschen Problems erstreckten sich bisher nur auf Übergänge von der einzelnen Gleichung zu Systemen, von Problemen erster zu solchen höherer Ordnung; stets aber handelte es sich um unterbestimmte Differentialprobleme in einer unabhängigen Veränderlichen (vgl. Goursat, 1905; F. d. M. 36, 421 (JFM 36.0421.*). Zervos, 1913; F. d. M. 44, 386 (JFM 44.0386.*)-387. Cartan, 1914; F. d. M. 45, 472 (JFM 45.0472.*)). Statt dessen betrachtet Verf. die partielle Differentialgleichung erster Ordnung \[ q_{n+1} = F(x_1,x_2,\ldots x_{n+1};x_{n+2},q_1,q_2,\ldots,q_n), \;q_i = \frac{\partial x_{n+2}}{\partial x_i} \;(i = 1, 2,\ldots,n+1) \tag{1} \] in \(n + 1\) unabhängigen und einer abhängigen Variablen \(x_{n+2}\) und eine beliebig vorgegebene \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(M_n\) im Raum von \(n+ 2\) Dimensionen: \[ x_{n+1}=\varphi_1(x_1,\ldots, x_n),\quad x_{n+2}=\varphi_2(x_1,\ldots, x_n);\quad p_1^i=\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_i},\quad p_2^i=\frac{\partial \varphi_2}{\partial x_i}. \tag{2} \] Dann ist mit jeder (holomorphen) Lösung des Systems \[ q_j+Fp_1^j-p_2^j = 0\quad (j =1,2,\ldots, n) \tag{3} \] auch eine (holomorphe) Lösung von (1) gegeben, welche durch die durch (2) gegebene \(M_n\) hindurchgeht, es sei denn, sie hat das Verschwinden der Jacobischen Determinante \(\varDelta\) des Systems (3) zur Folge. Gerade auf diese Lösungen kommt es an. Durch Elimination der \(q_1,\ldots,q_n\) aus (3) und \(\varDelta=0\) entsteht die Mongesche Gleichung \[ \varPhi(x_1,x_2,\ldots, x_{n+1},x_{n+2},p_1^1,p_1^2,\ldots, p_2^n)=0. \tag{4} \] Jede \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(M_n\) (2), für die \(\varphi_1\), \(\varphi_2\) der Gleichung (4) genügen, ist “singuläre” Mannigfaltigkeit der Gleichung (1); die Mongesche Gleichung (4) dieser Mannigfaltigkeiten ist von “erster Klasse”: Man erhält ihr allgemeines Integral in expliziter Form aus der Integration der Gleichung (1). Dieser für \(n = 1\) bekannte und bewiesene Sachverhalt wird hier auf beliebige Werte von \(n\) übertragen. Dabei erweist sich zunächst die Integration der Mongeschen Gleichung (4) äquivalent mit der Integration eines Systems von zwei Pfaffschen Gleichungen \[ \varOmega=0,\quad \varOmega_1=0 \] in \(3n + 1\) Variablen durch \(n\)-parametrige Funktionen. Der Integration von (1) geht parallel die Reduktion von \(\varOmega\) auf die kanonische Form. Für die weitere Beweisführung wird nur mehr die Kenntnis eines vollständigen Integrals \[ V(x_1, x_2,\ldots,x_{n+2},a_1,a_2,\ldots,a_{n+1})=0 \tag{5} \] vorausgesetzt. Die Umkehrung der Fragestellung führt auf \(n-1\) Bedingungen: \[ \frac{\dfrac{\partial \varPhi}{\partial p_2^l}}{\dfrac{\partial \varPhi}{\partial p_1^l}}=\frac{\dfrac{\partial \varPhi}{\partial p_2^n}} {\dfrac{\partial \varPhi}{\partial p_1^n}}\quad (l=1,2,\ldots,n-1). \tag{6} \] welchen die Funktion \(\varPhi\) genügen muß, um im Sinne von (4) die singulären Integralmannigfaltigkeiten einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in \(n+1\) unabhängigen Veränderlichen zu definieren. Diese Bedingungen stellen ein “halblineares” Involutionssystem im Sinne von S. Lie dar, wenn die \(2n-1\) Größen \(p_1^1,\ldots,p_2^{n-1}\) als Variable, die \(x_i\) als Parameter aufgefaßt werden. Ein anderer Weg, derartige charakteristische Bedingungen zu gewinnen, benutzt die Äquivalenz der Mongeschen Gleichung mit einem System zweier Pfaffscher, geht von diesen aus und stellt die gleichen Problemforderungen. Auch hier kommt es im wesentlichen auf die Reduktion des Pfaffschen Systems, auf die kanonische Form und die Kenntnis der numerischen Charakteristiken (Klassenzahlen) an. Überdies gibt es noch Beispiele Mongescher Gleichungen erster Klasse, welche nicht im Rahmen der entwickelten Theorie liegen.
Wählt man au Stelle der Gleichungen (1) ein (nichtlineares) Involutionssystem \[ \begin{gathered} q_{n+\mu}=F_\mu(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1};x_{n+2},\ldots,x_{n+m}; q_1,\ldots,q_n), \quad m>2 \tag{7} \\ (\mu = 1, 2,\ldots, m- 1), \end{gathered} \] und an Stelle von (2) die Mannigfaltigkeit \[ x_{n+1} = \varphi_1(x_1,x_2,\ldots, x_n),\quad \ldots,\quad x_{n+m} = \varphi_m(x_1,x_2,\ldots, x_n) \tag{8} \] und stellt wiederum die Frage nach singulären Integralmannigfaltigkeiten des Systems, so ergibt sich eine weitere Verallgemeinerung des Mongeschen Problems. Auch hier ist es möglich, durch Integration des Systems (7) alle Integrale der zugehörigen Mongeschen Gleichung \[ \begin{gathered} \varPhi(x_1,x_2,\ldots,x_{n+m},p_1^1,\ldots,p_m^n)=0, \;p_k^i= \frac{\partial \varphi_k}{\partial x_i} \tag{9} \\ (i = 1, 2, \ldots, n; \;k = 1, 2, \ldots, m) \end{gathered} \] explicite darzustellen und die übrigen Ergebnisse (Äquivalenz zu Pfaffschen Systemen, notwendige Bedingungen für (9) usw.) zu übertragen. (Vgl. auch die Arbeit des Verf. “Sur quelques équations de Monge intégrables explicitement”; Annali Pisa (2) 1 (1932), 35-59; F. d. M. \(58_{\text{I}}\).)

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