Intégrales quadratiques de l’équation \[ \frac{\partial ^2\varTheta}{\partial u\partial v}= \left[-\frac 6{(u-v)^2}+\frac {2}{(u+v)^2}\right]\varTheta. \]. (French) JFM 56.0415.01

Gambier, B.

Journ. de Math. (9) 9, 333-361 (1930).

In der Flächenbiegungstheorie, insbesondere bei der Untersuchung biegungsinvarianter Kurvennetze und verwandten Fragen, spielen partielle Differentialgleichungen vom Moutardschen Typ und dessen Verallgemeinerungen eine wichtige Rolle. Genügen die Lösungen \(\varTheta_1\), \(\varTheta_2\), …, \(\varTheta_p\) einer solchen Gleichung der Relation \[ \varTheta_1^2 + \varTheta_2^2 + \cdots + \varTheta_p^2= U + V;\quad \varTheta_\lambda= \varTheta_\lambda(u,v),\quad U= U(u),\quad V=V(v), \] so spricht man von quadratischen Integralen der Gleichung. Verf. behandelt den Spezialfall \(A_{3,2}\) der Gleichung \[ A_{m,n}\equiv \frac{\partial^2 \varTheta}{\partial u \partial v}+ \left[\frac{m(m-1)}{(u-v)^2}-\frac{n(n-1)}{(u+v)^2}\right]\varTheta=0 \] (\(m\) und \(n\) ganze Zahlen) und erhält Systeme von 2, 4, 5, 6, 7 quadratischen Integralen; der Wert 3 bleibt ausgeschlossen. Ferner werden die Kriterien untersucht, welche die Integrale erfüllen müssen, um einer quadratischen Relation zu genügen. Verf. betont, daß die allgemeine Behandlung der Gleichung \(A_{m,n}=0\) nach seinen Methoden nur im Anschwellen der erforderlichen Rechenarbeit Hindernisse findet.

Reviewer: Pinl, M., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen.