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Détermination et emploi des fonctions de Green dans les problèmes aux limites relatifs aux équations linéaires du type elliptique. (French) JFM 56.0419.02

Es handelt sich darum, die Randwertaufgaben einer linearen partiellen Differentialgleichung vom elliptischen Typus in \(m\) Veränderlichen durch die Greensche Funktion zu lösen. Um zu dieser zu gelangen, verwendet Verf. eine Hilfsfunktion, die sich in bezug auf die Singularitäten und am Rand wie die Greensche Funktion verhält, aber keine Lösung der Differentialgleichung ist. Sie liefert also, in die Differentialgleichung eingesetzt, nicht Null, ist aber so gebildet, daß das Einsetzungsergebnis einen Pol von niedriger als \(m\)-ter Ordnung liefert, wenn Aufpunkt und Integrationspunkt zusammenfallen. Um von dieser Funktion zur Greenschen Funktion zu gelangen, ist noch eine Fredholmsche Integralgleichung zu lösen. Die genannte Hilfsfunktion ist nicht eindeutig bestimmt, sondern läßt sich auf mannigfaltige Art bilden. Eine davon kann in anschaulicher Weise geometrisch gedeutet werden. Es gelingt dem Verf., sich durch diese Methode der Hilfsfunktion von der Existenz der adjungierten Differentialgleichung zu befreien und Auflösungsformeln zu erhalten, die für die Koeffizienten der Differentialgleichung und den Winkel zweier benachbarten Normalen der Berandung nur Höldersche Stetigkeitsbedingungen voraussetzen. Die Frage der Eindeutigkeit der Lösungen wird ebenfalls erledigt. Unter den Randbedingungen werden auch solche besprochen, in denen die tangentielle Ableitung der gesuchten Funktion auftritt. Bei zwei Veränderlichen darf die Randkurve eine endliche Zahl von Ecken aufweisen. Denn durch eine passende konforme Abbildung erhält man aus einer Ecke eine glatte Stelle der Bildkurve, die ebenfalls den Hölderschen Stetigkeitsbedingungen genügt. Die Idee des Überganges von einer Hilfsfunktion zur Greenschen Funktion entspricht einem Gedankengang von E. E. Levi, der in ähnlicher Weise von seiner sogenannten Quasilösung zur Grundlösung fortschreitet. Die in den Beweisen notwendigen Abschätzungen nehmen einen großen Teil der Arbeit ein. Sie sind im einzelnen manchmal ziemlich verwickelt, in den Grundzügen überall klar und einfach.
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Full Text: EuDML