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An integral inequality. (English) JFM 56.0434.02
Es handelt sich in diesen beiden Noten um den Beweis des folgenden Satzes (*): Es seien \(m\) und \(n\) Konstanten mit \(n > m > 1\), und es sei \(f(x)\) für \(0\leqq x < \infty\) eine reelle, eindeutige, nicht negative Funktion, für die das Lebesguesche Integral \[ J = \int\limits_0^{\infty} f^m dx \tag{1} \] existiert. Dann existiert auch das Integral \[ y=\int\limits_0^x f dx \tag{2} \] für jedes \(x\), und es gilt \[ I=\int\limits_0^{\infty}\frac{y^n}{x^{n-r}}dx\leqq k\left(\int\limits_0^{\infty}f^mdx\right)^{\frac nm} = kJ^{\frac nm}, \tag{3} \] wobei \[ r=\frac nm-1,\quad k=\frac1{n-r-1}\left\{ \frac{r\varGamma\left(\dfrac nr\right)} {\varGamma\left(\dfrac1r\right)\varGamma\left(\dfrac{n-1}r\right)} \right\}^r \] ist. In (3) gilt das Gleichheitszeichen dann und nur dann, wenn \(f\) die Form \(\dfrac{\alpha}{(\beta x^r+1)^{\frac{r+1}r}}\) hat oder von einer solchen Funktion nur auf einer Menge von \(x\)-Werten vom Maße Null abweicht.
Der Beweis dieses Satzes führt auf die Lösung eines irregulären Variationsproblems. Die Konstante \(k\) ist nämlich das Maximum des Integrals \(I\) für alle Funktionen \(y(x)\) mit geeigneten Stetigkeitseigenschaften, welche den Bedingungen \[ J=\int\limits_0^{\infty} y^{\prime m}dx=1,\quad y(0)=0 \] genügen.
Hardy und Littlewood gehen für den Beweis des Satzes (*) von der folgenden bekannten Ungleichung (Hardy, 1920; F. d. M. 47, 207 (JFM 47.0207.*); siehe auch Iyengar, 1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 203-204) aus: Aus \[ k>1,\quad f(x)\geqq 0,\quad F(x)=\int\limits_0^x f(t)dt \] folgt \[ \int\frac{F^k}{x^k}dx\leqq\left(\frac{k}{k-1}\right)^k\int f^kdx, \tag{4} \] wobei die Konstante \(\left(\dfrac k{k-1}\right)^k\) die bestmögliche ist und in (4) das Zeichen = dann und nur dann steht, wenn \(f(x)\) fast überall gleich Null ist. Hardy und Littlewood deuten für (*) einen Beweis mit Hilfsmitteln der Variationsrechnung an, den sie aber nicht vollständig durchgeführt haben. Sie haben dann die Aufgabe dem Verf. der zweiten Note, G. A. Bliss, vorgelegt; denn “we found our knowledge of the calculus of variations inadequate”.
Bliss gibt einen Beweis zunächst für stetige Funktionen \(f(x)\) und zeigt dann, daß er sich auf alle meßbaren Funktionen \(f(x)\) übertragen läßt, für die das Integral (1) existiert. Der Beweis ist so dargestellt, daß er auch ohne Kenntnisse aus der Variationsrechnung verständlich ist; am Schluß seiner Note gibt Bliss einen Überblick über diejenigen Sätze aus der Variationsrechnung, die zu dem Beweise geführt haben.
Als Folgerung aus dem Satze (*) geben Hardy und Littlewood in ihrer Note eine weitere Integralungleichung an. (IV 2, 3 C.)

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.
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