×

zbMATH — the first resource for mathematics

The problem of the least area and the problem of Plateau. (English) JFM 56.0436.01
Ist im \(xyz\)-Raum eine Jordankurve \(\varGamma^*\) gegeben, so definieren in der vorliegenden Arbeit drei Gleichungen \[ x = x(u, v), \;y = y (u, v), \;z = z (u, v) \tag{1} \] eine durch \(\varGamma^*\) begrenzte stetige Fläche \(S\), wenn \(x(u,v)\), \(y(u, v)\) und \(z (u, v)\) stetig sind für \(u^2+v^2\leqq 1\) und durch (1) der Einheitskreis \(u^2+v^2=1\) auf topologische Weise in \(\varGamma^*\) übergeführt wird. \(\mathfrak A(S)\) sei der im Sinne von Lebesgue gemessene Flächeninhalt von \(S\). Bezeichnet weiter \(\mathfrak a (\varGamma^*)\) die untere Grenze der Inhalte \(\mathfrak A(S)\) aller durch \(\varGamma^*\) begrenzten stetigen Flächen \(S\), so besteht das Problem der kleinsten Flache darin, eine solche durch \(\varGamma^*\) begrenzte stetige Fläche \(S_0\) zu finden, für welche \(\mathfrak A(S_0) = \mathfrak a(\varGamma^*)\) ist. (Von Interesse ist dabei nur der Fall, daß \(\mathfrak a (\varGamma^*)\) einen endlichen Wert hat.)
Unter dem Problem von Plateau hingegen versteht Verf. die Aufgabe, eine durch die Jordankurve \(\varGamma^*\) begrenzte Minimalfläche zu bestimmen. Beide Probleme sind nicht identisch, denn z. B. im Fall eines Kreises besitzt, worauf schon Lebesgue hingewiesen hat, das Problem der kleinsten Fläche unendlich viele Lösungen, die nicht Minimalflachen sind. (Man beachte bei der Formulierung des Problems, daß das Nichtverschwinden der ersten Fundamentalform der “Fläche” (1) nicht gefordert ist.)
Das Hauptresultat des Verf. ist nun der Satz, daß für jede Jordankurve \(\varGamma^*\), durch welche überhaupt eine Fläche mit endlichem Inhalt begrenzt wird, eine gemeinsame Lösung des Problems der kleinsten Fläche und des Problems von Plateau existiert. Als spezieller Fall ergibt sich daraus die Bestätigung eines 1912 von S. Bernstein ohne Beweis ausgesprochenen Satzes (S. 484f. seiner Arbeit “Sur les équations du calcul des variations”; 1912, F. d. M. 43, 460 (JFM 43.0460.*)-461): Ist längs einer konvexen Jordankurve \(\varGamma'\) der \(xy\)-Ebene eine stetige Funktion \(\varphi(P')\) des variablen Punktes \(P'\) gegeben, so existiert eine Lösung \(z(x, y)\) der Differentialgleichung der Minimalflächen: \[ (1+q^2)r-2pqs+(1+p^2)t = 0, \] welche innerhalb und auf \(\varGamma'\) stetig, innerhalb \(\varGamma'\) analytisch ist und auf \(\varGamma'\) die vorgegebenen Randwerte \(\varphi(P')\) annimmt.
Die Beweismethode des Verf. unterscheidet sich von den bisher angewendeten durch ihre Unabhängigkeit vom Monodromiegruppenproblem und läßt sich kurz dahin charakterisieren, daß zunächst die Existenz von Flächen nachgewiesen wird, die die Aufgabe nur angenähert lösen, und dann ein Grenzübergang vollzogen wird. (IV 3 C, V 6 B.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML