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Sulle trasformazioni birazionali nello spazio aventi un’unica curva fondamentale. (Italian) JFM 56.0541.02
Vorgegeben ist ein homaloidisches System von Flächen \(\mu\)-ter Ordnung mit einer einzigen \(i\)-fachen doppelpunktfreien Fundamentalkurve \(m\)-ter Ordnung vom Geschlechte \(p\) und einer Anzahl von Fundamentalpunkten. Zwei Typen \((a)\) und \((b)\) solcher Systeme unterscheiden sich dadurch, daß \(i>\) oder \(\leqq\) der größten in \(\dfrac\mu4\) enthaltenen ganzen Zahl ist. Für beide Typen werden die möglichen Fundamentalkurven bestimmt: Im Falle \((a)\) können 12 verschiedene Kurven auftreten, im Falle \((b)\) existiert (mindestens) ein Fundamentalpunkt \(F_0\), und die Fundamentalkurve ist entweder eine durch \(F_0\) laufende Gerade, oder sie liegt auf einem von \(F_0\) als Scheitel ausgehenden Kegel, dessen Erzeugende die Kurve außerhalb des Scheitels nur noch in einem Punkte schneiden. (Die Möglichkeiten für diese Kurven werden untersucht.)
Werden nun durch eine birationale Verwandtschaft zwischen zwei Räumen im Ausgangsraum und im Bildraum je ein homaloidisches System mit einer einzigen Fundamentalkurve bestimmt, so können diese a priori beide vom Typus \((a)\) oder \((b)\) oder von verschiedenem Typus sein. Nur für zwei bestimmte birationale Verwandtschaften (2,2), (3,3) tritt der erste Fall ein, während sich der zweite Fall als unmöglich erweist. Dagegen werden nach ihrem Geschlechte (\(p = 0\), 1, 3, 10) vier Familien von Kurvenpaaren unterschieden, die als Fundamentalkurven von verschiedenem Typus in birational-verwandten Räumen auftreten können.
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Full Text: Numdam EuDML