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Eine kennzeichnende Eigenschaft der ebenen algebraischen Kurven \(n\)-ter Ordnung. (German) JFM 56.0553.03
In Verallgemeinerung eines früheren Resultates (1928; F. d. M. 54, 691 (JFM 54.0691.*)) beweist Verf. folgenden Satz: Wird eine ebene, stetig differenzierbare Kurve von den Geraden einer beliebigen Parallelenschar in je \(n\) Punkten geschnitten, derart daß der Schwerpunkt der \(n\) Punkte auf einer Geraden wandert, wenn die Gerade die Schar durchläuft, so ist die Kurve eine algebraische Kurve \(n\)-ter Ordnung.
Der Betrachtung liegt folgende Begriffsbildung zugrunde: Sei \(l\) eine Gerade durch \(O\), die die Kurve in \(P_1\), \(P_2\), \(\ldots \), \(P_n\) schneidet. Man bestimme \(P\) so, daß \[ \frac {n}{OP} =\sum _{\nu =1}^n \frac {1}{OP_\nu } \] wird. Bewegt sich \(P\) auf einer Geraden \(g\), wenn \(l\) das Büschel durch \(O\) beschreibt, so sagt man: \(O\) besitzt eine Polargerade \(g\). Nimmt man nun an, daß jeder Punkt der Ebene bezüglich der vorgelegten Kurve eine Polargerade besitzt (“soweit die Konstruktion einen Sinn hat”), so folgt aus der Betrachtung der somit erklärten Polarverwandtschaft auf Grund eines Satzes von Verf. und Kakeya (1917; F. d. M. 46, 911 (JFM 46.0911.*)), daß die Kurve algebraisch und von der Ordnung \(n\) ist. Da weiter aus einer Bemerkung Fujiwaras folgt, daß, wenn jeder Punkt einer Geraden \(h\) bezüglich der vorgelegten Kurve eine Polare besitzt, überhaupt jeder Punkt eine Polare besitzt (immer “soweit die Konstruktion einen Sinn hat”), so ist damit der eingangs genannte Satz dargetan (man wähle \(h\) als uneigentliche Gerade).
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