Sur la déformation des systèmes cycliques. (French) JFM 56.0606.01

Vincensini, P.

Annales Ecole norm. (3) 47, 381-422 (1930).

Die Biegungstheorie ebener Normalkurvenkongruenzen wurde bereits von Ribaucour untersucht; es wird die Frage gelöst, unter welchen Bedingungen der Charakter der Normalkongruenz biegungsinvariant bleibt. Im Spezialfall der “systèmes cycliques” (Kreissysteme) hat Darboux ein Konstruktionsverfahren angegeben, durch welches man (im Verlauf der Ribaucourschen Deformation) alle zugehörigen Kreissysteme erhält, deren Kreise auf den Tangentenebenen einer beliebigen Fläche liegen. Hier knüpft Verf. an. Ein Kreissystem, dessen Einzelkreise mit einer Fläche \((S)\) je ein Berührungselement von der Art besitzen, daß durch beliebige Deformation der Fläche, übertragen auf die verschiedenen Kreise des Systems, das Kreissystem stets in ein Kreissystem übergeht, heißt “beliebig deformierbar mit der Fläche \((S)\)”. Jedes zyklische System ist “beliebig deformierbar” in mindestens einer Art und Weise. Es genügt, jedem seiner Kreise die Ebene zuzuordnen, in welcher er liegt, und als Fläche \((S)\) im Einklang mit den Ribaucourschen Methoden den Ort dieser \(\infty^2\) Ebenen zu nehmen. Im ersten Teil seiner Untersuchung stellt sich demgegenüber Verf. die Aufgabe, alle zyklischen Systeme zu bestimmen, welche von Kreisen gebildet werden, die in den Normalebenen einer Fläche \((S)\) liegen und als zyklisches System erhalten bleiben, sobald \((S)\) und damit auch das System der Tangential- und Normalebenen von \((S)\) einer Deformation unterworfen wird. Als Flächen \((S)\), welche eine derartige “willkürlich deformierbare” Zuordnung zyklischer Systeme gestatten, ergeben sich Biegungsverwandte der Drehflächen. Darin liegt eine Verallgemeinerung der Resultate von Bianchi, welcher das gleiche Problem unter engeren Voraussetzungen (die Kreise schneiden \((S)\) normal) gelöst hat. Alle zyklischen Systeme, welche einer und derselben Fläche \((S)\) angehören, bilden eine Familie, welche von zwei willkürlichen Konstanten abhängt. Die Mittelpunkte der Kreise liegen in den Tangentialebenen von \((S)\). Die von Bianchi behandelten Systeme ergeben sich durch eine einfache Spezialisierung der freien Konstanten.
Im zweiten Teil der Arbeit untersucht Verf. eine spezielle Deformation gewisser Kreissysteme, gebildet von Kreisen, deren Ebenen durch einen festen Punkt gehen. Es handelt sich um ein kreisgeometrisches Gegenstück zu einem vom Verf. bereits früher gefundenen Satz über Appellsche Strahlsysteme (Bulletin Sc. math. (2) 53 (1929), 56-64; Annales Toulouse (3) 21 (1929), 1-25; F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)). Diese Normalsysteme einer Mittelebenenenveloppe gehen wieder in Normalsysteme über, wenn jeder Systemstrahl um einen konstanten Winkel um seine Parallele, ausgehend von einem festen Punkt des Raumes, gedreht wird. Analog handelt es sich im Kreissystem um eine konstante Drehung eines jeden Kreises um die Gerade (der Kreisebene), welche durch den Fixpunkt des Systems geht und in diesem von dem zu ihr orthogonalen Kreisdurchmesser getroffen wird. Die Invarianzforderung, bei diesem Prozeß als zyklisches System erhalten zu bleiben, führt analytisch auf die partielle Differentialgleichung \[ rt-s^2=1. \]
Die Verwandtschaft beider Probleme zeigt sich in der geometrischen wie auch in der analytischen Behandlung. Insbesondere erhält man durch eine passende Inversion aus den Appellschen Geradenkongruenzen spezielle Kreissysteme der verlangten Art (sie gehen alle durch den Fixpunkt). Eine weitere einfache Konstruktion gewinnt aus diesen speziellen Lösungen die allgemeine, so daß schließlich das liniengeometrische und das kreisgeometrische Problem völlig äquivalent erscheinen.

Reviewer: Pinl, M., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. B. Differentialgeometrie im dreidimensionalen euklidischen Raum.