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On the lines of equidistance of a family of surfaces. (English) JFM 56.0609.02

Bekanntlich lautet die Integrabilitätsbedingung einer Pfaffschen Gleichung in drei Veränderlichen vektoriell: \[ \mathfrak n\cdot\operatorname{rot}\mathfrak n=0. \]
Ist sie erfüllt, so besteht für die Gleichung die einparametrige Integralflächenschar \(\varphi=\text{const}\) und für \(\mathfrak n\) und \(\varphi\) der Zusammenhang: \[ \mathfrak n=\psi\nabla\varphi\psi^2=\frac1{(\nabla\varphi)^2}\quad \text{(\(\nabla\varphi\) Gradient von \(\varphi\)).} \] Die Flächenschar \(\psi=\text{const}\), die Äquidistanzflächen zu \(\varphi=\text{const}\), schneiden die Schar \(\varphi=\text{const}\) in den “Äquidistanzkurven” der Schar. Sie bilden eine Kurvenkongruenz, von welcher auf jeder Fläche \(\varphi=\text{const}\) eine einparametrige Schar liegt. Dabei ist der Betrag von \(\operatorname{rot}\mathfrak n\) die Krümmung \(k\) der Orthogonaltrajektorien im betrachteten Punkt der Fläche der Schar.
Mit dieser Methode behandelt Verf. zunächst die Striktionsfläche der Äquidistanzkurvenkongruenz (vgl. C. E. Weatherburn, 1927; F. d. M. 53, 676 (JFM 53.0676.*)) \[ \nabla k\operatorname{rot}\mathfrak n=0. \] Auf ihr verhält sich \(k(=|\operatorname{rot}\mathfrak n|)\) stationär für Verschiebungen längs der Äquidistanzkurven. Die Behandlung der “Grenzflächen” \[ \operatorname{div} (\mathfrak b \operatorname{div}\mathfrak b +\mathfrak b\times\operatorname{rot}\mathfrak b)=0 \] (\(\mathfrak b=\operatorname{Einheitsbinormale}\)) liefert den Satz: Die Äquidistanzkurven bilden eine Normalenkongruenz, sobald \(\operatorname{rot}\mathfrak n\cdot\operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathfrak n\) identisch verschwindet, und nur in diesem Falle. Ferner gilt: Die Striktionslinie der Äquidistanzkurven auf irgendeiner Fläche der Schar ist der Schnitt dieser Fläche mit der Striktionsfläche der Kongruenz, Die Äquidistanzkurven verlaufen parallel auf der Fläche, wenn \(k\) konstant bleibt längs jeder solchen Kurve. Daneben berechnet Verf. mittlere und Gaußsche Krümmung, geodätische Krümmung und geodätische Torsion aus den für die ganze Untersuchung charakteristischen Bestimmungsgrößen. Schließlich wird eine Anwendung auf die Theorie der Laméschen Flächenscharen gegeben.

Citations:

JFM 53.0676.*
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Full Text: EuDML