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A method of obtaining normal representations for projective connection. (English) JFM 56.0625.02
Es sei \(\nabla_\alpha\) (\(\alpha,\beta,\ldots=0,\ldots,n\)) der symbolische kovariante Punkt der projektivkovarianten Ableitung mit den Koeffizienten \(\varPi^\alpha_{\beta\gamma}\), ausgedrückt in den allgemeinen Koordinaten \(x+x^0\). Es werden projektive Normalkoordinaten (welche mittels (1) charakterisiert sind) aufgesucht mit Hilfe des Systems \[ (\nabla_\alpha\nabla_\beta Z)V^\alpha V^\beta=0. \] Dabei ist \(V^a=y^a\) (\(a,b,\ldots=1,\ldots,n\)), und \(y^a\) sind die affinen Normalkoordinaten in der Umgebung des Punktes \(x=q\) in bezug auf \(\varPi^a_{bc}\). Führt man also die projektiven Koordinaten \(y+y^0\) (mit \(y^0=x^0-q^0\)) ein, so gilt für die Koeffizienten \(\overline \varPi^\alpha_{ij}\) der Konnexion, ausgedrückt in \(y+y^0\), die bekannte Gleichung \[ \overline\varPi^a_{bc}y^by^c=0, \] so daß sich die obige Gleichung für \[ Z=e^{y_0}\varTheta(y_1,\ldots,y_n) \] auf \[ \left(\frac{\partial^2\varTheta}{\partial y^a\partial y^b}\varTheta\overline\varPi^0_{bc}\right)y^by^c=0 \] reduziert. Diese Gleichung hat die einzige Lösung \(Z=c^{y_0}\varTheta(y_1,\ldots,y_n)\) mit dem vorgeschriebenen Werte \(\left(\dfrac{\partial Z}{\partial y^\beta}\right)_q\). Insbesondere lassen sich also aus \(n+1\) Lösungen \(Z^\alpha\) mit \(\left(\dfrac{\partial Z^\alpha}{\partial y^\beta}\right)_q= \delta^\alpha_\beta\) die Normalkoordinaten \(z+z^0\) aufbauen: \[ z^i=\frac{\varTheta^i}{\varTheta^0},\quad z^0=x^0-q^0+\log\varTheta^0, \] für welche \[ \left(\frac{\partial z^\alpha}{\partial x^\beta}\right)_q=\delta_\beta^\alpha, \quad (z^\alpha)_q=0, \quad P_{ab}^\alpha z^az^b=0 \tag{1} \] gilt; dabei bedeuten \(P_{ab}^\alpha\) die Konnexionskoeffizienten, ausgedrückt in \(z\).

Subjects:
Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.
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