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Normal coordinates in the geometry of paths. (English) JFM 56.0626.02
Es sei \(x^\nu=x^\nu(u^1,\ldots,u^m)\) (\(\lambda,\mu,\nu=1,\ldots,n\)) eine \(m\)-dimensionale Fläche \(X_m\), in einem \(n\)-dimensionalen Raume \(A_n\), der mit der Konnexion \(\varGamma_{\lambda\mu}^\nu\) versehen ist. Der Tangentialvektor \(t^\nu\) jeder Kurve, welche nicht in \(X_m\) liegt, läßt sich immer schreiben als \[ t^\nu=a^f\underset {f} e^\nu, \] wenn die \(\underset {f} e^\nu\) \(n-m\) linear unabhängige, nicht in \(X_m\) liegende Vektoren darstellen. Ist insbesondere diese Kurve eine Geodätische, welche von einem Punkte \(u_0\) der \(X_m\) ausgeht, so ist ihre Gleichung bekanntlich \[ X^\nu=x^\nu+s(t^\nu)_0-\tfrac12(\varGamma_{\lambda\mu}^\nu t^\lambda t^\mu)_0s^2+\cdots \] oder also \[ X^\nu=x^\nu+sa^f(\underset {f} e^\nu)_0-\tfrac12(\varGamma_{\lambda\mu}^\nu \underset {f} e^\lambda\underset {g} e^\mu)_0a^fa^gs^2+\cdots \quad(e,f,g=m+1,\ldots,n), \] so daß man eine Art von “Normalkoordinaten” in bezug auf \(X_m\) einführen kann: \[ u^f=a^f\,s. \] Die Gleichungen der Geodätischen, welche von \(u_0^b\) ausgeht und nicht in \(X_m\) liegt, sind dann \[ u^b=u_0^b,\quad u^f=a^f\,s \qquad (b=1,\ldots,m). \] Daraus folgt sofort für die Konnexion, ausgedrückt in den Koordinaten \(u\) mittels der Koeffizienten \(L_{\lambda\mu}^\nu\): \[ L_{ef}^\nu=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}{}^{\phantom\nu}_{(e}L{}^\nu_{fg)}=0 \text{ längs \(X_m\).} \]
Es folgen einige Anwendungen auf den metrischen Raum und auch auf den Fall \(m=1\). (Siehe auch Hlavatý: “Sulle coordinate geodetiche”; Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 12 (1930), 502-509; JFM 56.0622.*-623.)
Subjects:
Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.
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