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Projective normal coördinates. (English) JFM 56.0627.01
Ausgehend von allgemeinen Koordinaten \(x^i\) werden neue Koordinaten \(y^i\) mittels \[ x^i=x_0^i+y^i-\tfrac12\left(\pi_{jk}^i\right)_0y^iy^k+\cdots\tfrac1r\left(\pi_{j_1\ldots j_r}^i\right)_0y^{j_1}\cdots y^{j_r}+\cdots \] eingeführt, wo \[ \pi_{kl}^i=\varGamma_{kl}^i-\frac1{n+1} (\delta_k^i\varGamma_{hl}^h+\delta_l^i\varGamma_{hk}^h) \] und \(\varGamma_{kl}^i\) die Koeffizienten der Konnexion des Raumes sind. Aus diesen Koordinaten lassen sich “die projektiven Normalkoordinaten” \(z\) mittels \[ z^i=\frac{y^i}\varphi,\quad \varphi-\frac{\partial\varphi}{\partial y^j}y^j=\varDelta^{\frac2{1-n}}\qquad \left(\varDelta=\left|\frac{\partial x}{\partial y}\right|\right) \] konstruieren. Wenn \(P^i_{jk}\) die Koeffizienten der Konnexion sind, ausgedrückt in den Koordinaten \(z^i\), so ist \[ P^i_{jk}z^jz^k=0. \] Bei der Transformation \(\bar x=\bar x(x)\) transformieren sich diese Kordinaten nach \[ \bar z^i=\frac{a^i_jz^j}{1+a_jz^j}, \] wo \[ a^i_j=\left(\frac{\partial\bar x^i}{\partial x^j}\right)_0,\quad a_i=-\frac1{n+1}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\log\left|\frac{\partial\bar x} {\partial x}\right|\right)_0 \] ist.

Subjects:
Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.
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