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Nuovi contributi alla nozione di derivazione covariante. Con appendici di G. Aliprandi, R. Baldoni, M. Liceni, I. Sacilotto. (Italian) JFM 56.0645.06
Es sei \(V_n\) eine Mannigfaltigkeit, die in eine Riemannsche (oder speziell euklidische) Mannigfaltigkeit \(V_N\) eingebettet ist. \[ \xi ^A = \frac {\partial x^A}{\partial u^r}\xi ^r \] seien die \(V_N\)-Komponenten eines Vektors, dessen \(V_n\)-Komponenten die \(\xi ^r\) sind. Dann ist bekanntlich das absolute Differential des Vektors \(\xi \) in \(V_n\), \(D_s\xi ^r\cdot \,du^s\), gleich der in \(V_n\) liegenden Komponente von \(D_B\xi ^A\,\cdot \,dx^B\), dem absoluten Differential desselben Vektors \(\xi \) in \(V_N\). Hiervon gerade geht Verf. aus, um zu einer Ausdehnung der kovarianten Ableitung seines verallgemeinerten Differentialkalküls (vgl. das Buch “Geometria nello spazio hilbertiano”, 1929; F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)) zu gelangen auf den Fall, in dem der Ableitungsindex zusammengesetzt und von beliebiger (ganzer) Klasse ist, d. h. aus einer beliebigen Anzahl von Ziffern oder einfachen Indices besteht. Es sei \(V_n\) in den Hilbertschen Raum eingebettet, und \(f(t;\, u^1, u^2,\ldots, u^n)\) sei eine “determinante”, die in bezug auf \(t\) in der Menge \(g\) definiert ist und ein summierbares Quadrat besitzt. Man setze für \(\alpha = r_1r_2\ldots r_h\) \[ f_\alpha = \frac {\partial ^hf}{\partial u^{r_1}\partial u^{r_2}\ldots \partial u^{r_h}} \;\;\text{und}\;\;a_{\alpha,\beta } = \int\limits _g f_\alpha f_\beta \,dt; \;\;\text{ferner}\;D_\alpha K = \frac {\partial ^hK}{\partial u^{r_1}\partial u^{r_2}\ldots \partial u^{r_h}}, \] wobei \(K\) ein Skalar ist.
Es seien ferner \( {\operatornamewithlimits{\text{}a}}\)_\nu

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Full Text: Numdam EuDML