Zwei Sätze über den wahrscheinlichen Verlauf der Bewegungen dynamischer Systeme. (German) JFM 56.0703.01

Hopf, E.

Math. Ann. 103, 710-719 (1930).

\({\mathfrak M}\) sei eine endlichviel-dimensionale offene Mannigfaltigkeit; das Maß einer Punktmenge \(M\) auf \({\mathfrak M}\) sei mit \(m(M)\) bezeichnet. In \({\mathfrak M}\) sei nun eine stationäre stetige Strömung emer inkompressiblen Flüssigkeit vorgegeben. Bedeutet dann \(T_t(P)\) eine einparametrige kontinuierliche Gruppe mit \(t\) als Zeitparameter, so ist die Inkompressibilität der Flüssigkeit durch die folgende Relation definiert: \[ m(T_t(M)) = m(M) \] für alle meßbaren Mengen \(M\) und alle Zeiten \(t\). \(P\) heißt ein fliehender Punkt, wenn die durch \(P\) hindurchgehende Stromlinie \(P_t = T_t (P)\) für \(t \to \infty\) keinen Häufungspunkt in \({\mathfrak M}\) besitzt; dagegen heißt \(P\) ein Wiederkehrpunkt, wenn \(P\) ein Haufungspunkt der Punkte \(P_t = T_t (P)\) für \(t\to \infty\) ist.
Verf. beweist dann eine Ausdehnung der Carathéodoryschen Wiederkehrsätze in der folgenden Form:
Satz 1. Bis auf eine Menge vom Maß Null sind alle Punkte von \({\mathfrak M}\) entweder Wiederkehrpunkte oder fliehende Punkte.
Satz 2. Bis auf eine Nullmenge sind alle hinsichtlich der Vergangenheit fliehenden Punkte auch bezüglich der Zukunft fliehende Punkte.
Als Anwendung auf das restringierte Dreikörperproblem bekommt Verf. die folgenden wichtigen Sätze:
Satz 3. Im allgemeinen konvergiert entweder die Entfernung des masselosen Punktes von \(m_1\) und \(m_2\) über alle Grenzen für \(t\to \infty\), oder der Bewegungszustand kehrt für \(t\to\infty\) immer wieder in beliebige Nähe des anfänglichen Bewegungszustandes zurück. Die Phasenpunkte, denen keine dieser Bewegungen entsprechen, bilden auf jeder der Jacobischen Mannigfaltigkeiten \({\mathfrak M}_C\), für welche \(C\) von den vier Librationswerten verschieden ist, eine Menge vom Lebesgueschen Inhalt Null.
Satz 4. Kommt der masselose Punkt aus unendlicher Entfernung, so wird er sich im allgemeinen wieder in unendliche Entfernung begeben, abgesehen von unwesentlichen Ausnahmefällen der im vorigen Satz angegebenen Art. (VIII 2 B, C.)

Reviewer: Wegner, U., Prof. (Darmstadt)

JFM Section:

Erster Halbband. Sechster Abschnitt. Mechanik. Kapitel 4. Mechanik der Kontinua. B. Hydrostatik und Hydrodynamik. Hydraulik. Aerodynamik.