Über die Vollständigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer Zahlen, in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt. (German) JFM 56.0825.04

Presburger, M.

C. R. Congrès Math. Pays slaves 92-101, Zusatz ebenda, 395 (1930).

Skizze eines Vollständigkeitsbeweises für ein gewisses System \(\mathfrak A_k\) in dem Sinn, daß für jede einschlägige sinnvolle Aussage \(\mathfrak p\) ohne freie Variablen entweder \(\mathfrak p\) oder non-\(\mathfrak p\) zu \(\mathfrak A_k\) gehört, und daß sogar die Entscheidung hierüber durch endlich viele Operationen herbeigeführt werden kann; m. a. W: In \(\mathfrak A_k\) gibt es keine unentschiedenen Probleme. \(\mathfrak A_k\) ist wesentlich die Arithmetik der ganzen Zahlen mit der Addition als einziger (umkehrbarer) Operation. Zur Festlegung von \(\mathfrak A_k\) geht Verf. aus von drei von Lukasiewicz stammenden Axiomen des Aussagenkalküls und den (in bezug auf = und + als Grundzeichen ausgedrückten) Axiomen der Identität und der Addition im Bereich der ganzen Zahlen, die mangels eines Multiplikationszeichens in unendlicher Anzahl auftreten. Die (namentlich mittels Substitution und Syllogismus folgenden) Konsequenzen aus diesem Axiomensystem bilden \(\mathfrak A_k\).
Der Beweis ergibt sich im Anschluß an Hilbert-Ackermanns Logik und in Anlehnung an Gedankengänge Tarskis im wesentlichen durch Reduktion jeder sinnvollen Aussage ohne freie Variablen auf eine disjunktive Normalform. Der Kern dieser Methode ist schon früher von Skolem und Langford eingeführt worden.
Bei Einführung der Multiplikation würden sich neue, vorläufig (und wohl noch auf lange hinaus) unüberbrückbare Schwierigkeiten ergeben. Dagegen läßt sich das Ergebnis nach Angabe des Verf. aufrecht erhalten, wenn noch das Grundzeichen \(>\) hinzugefügt wird.

Reviewer: Fraenkel, A., Prof. (Jerusalem)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Erster Abschnitt. Geschichte, Philosophie und Pädagogik. Kapitel 2. Philosophie.