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Über den Kern einer Menge. (German) JFM 56.0844.02

Ist \(A\) eine Punktmenge in einem allgemeinen Raum, so bezeichne \(A^n\) den in sich dichten Kern von \(A\), \(A^c\) die Komplementärmenge von \(A\). Neben den trivialen Relationen \[ \begin{aligned} & (A+B)^n = A^n + B^n \tag{I}\\ & A^n\subset A \tag{II} \end{aligned} \] besteht dann, wie Verf. zeigt, \[ A^{ncnc}\subset A^{ncncn}, \tag{III} \] was zusammen mit (II) besagt, daß \(A^{ncnc}\) in sich dicht ist. (Die Operationen im Exponenten sind in der Reihenfolge von links nach rechts auszuüben.) Verf. führt nun (I)-(III) als Axiome für die Kernbildung einer Menge \(A\) ein. Die Axiome sind voneinander unabhängig. Auf Grund der Axiome werden noch weitere Relationen für die sukzessiven Komplementund Kernbildungen einer Menge abgeleitet, die zu folgendem Ergebnis führen: Durch Komplement- und Kernbildung entstehen aus der Menge \(A\) nur acht wesentlich verschiedene Mengen \(A\), \(A^c\), \(A^n\), \(A^{cn}\), \(A^{nc}\), \(A^{cnc}\), \(A^{ncn}\), \(A^{cncn}\), zwischen denen die Relationen \[ \begin{alignedat}{2} & A^n\subset A\subset A^{cnc},\quad && A^n\subset A^{cncn}\subset A^{cnc},\\ & A^{cn}\subset A^{c}\subset A^{nc},&& A^{cn}\subset A^{ncn}\subset A^{nc} \end{alignedat} \] und im allgemeinen keine weiteren Relationen bestehen.
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Full Text: EuDML