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Construction of division algebras. (English) JFM 56.0868.03

Alle bisher bekannten Divisionsalgebren sind Algebren vom Typus \(\varGamma\). Diejenigen Algebren \(\varGamma\), die zu zyklischen Gleichungen gehören, werden als Matrizenalgebren dargestellt. Dann ergibt sich sehr einfach der bekannte Satz:
Ist \(f(x)=0\) eine in einem beliebigen Körper irreduzible zyklische Gleichung \(q\)-ten Grades mit den Wurzeln \[ i,\theta (i),\theta^2(i), \ldots, \theta^{q-1}(i), \] dann ist die Algebra mit den Einheiten \[ i^mj^n\quad (m,n = 0,\ldots,q-1), \] für die \[ j^q=g(i); \;j^rP(i) = P(\theta^r(i))j^r \] gilt, für jedes Polynom \(P(i)\) assoziativ dann und nur dann, wenn \[ g(i) =g(\theta) \] ist (s. L. E. Dickson, New division algebras. Trans. Am. Math. Soc. 28, 207–234 (1926; JFM 52.0133.03), §9)].
Von diesen zyklischen Algebren ausgehend, kann Verf. schrittweise, indem er die jeweils erhaltene Algebra als Grundalgebra \(\varSigma\) benutzt, assoziative Algebren mit beliebiger abelscher Gleichung aufbauen. Ebenso erhält er assoziative Algebren, deren Gleichungen zwei bzw. drei erzeugende Wurzeln haben (s. J. Williamson [Trans. Am. Math. Soc. 30, 111–125 (1928; JFM 54.0162.02)]).

MSC:

17A35 Nonassociative division algebras
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