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A divisor problem. (English) JFM 56.0891.01
Berichtigung: Rendiconti Palermo 57 (1933), 478-479.
Es handelt sich in dieser Arbeit um die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens der Funktion \[ Dp(x) = \sum\limits_{l<p\leqq x} d(p-l), \tag{1} \] wo \(l\) eine feste ganze Zahl und \(d(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\) ist. Trivial ist zunächst \[ \dfrac{Ax}{\log x}\leqq Dp(x)\leqq Bx \log x. \]
(1) läßt sich einfach umformen in \[ Dp(x) = \sum\limits_{k\leqq x-l}\pi (x; k, l), \tag{2} \] wo \(\pi (x; k, l)\) die Anzahl derjenigen Primzahlen \(p\leqq x\) ist, die kongruent \(l\) mod \(k\) sind. Wenn man nun mit der Formel \[ \pi (x; k,l) \sim \dfrac{1}{\varphi (k)}\dfrac{x}{\log x} \] eine Überschlagsrechnung macht (ohne auf das Fehlerglied zu achten), kommt man zu der Vermutung \[ Dp(x)\sim Ex \tag{3} \] mit \[ E = \prod\limits_{(p,l)=1}\left((1+\dfrac{1}{p(p-1)}\right) \prod\limits_{p'|l}\left(1-\dfrac{1}{p'}\right). \] Es gelingt dem Verf., (3) unter Annahme der auf alle \(L\)-Reihen ausgedehnten Riemannschen Vermutung zu beweisen. Interessant ist, daß man aber neben dieser Hypothese noch Resultate heranziehen muß, die bisher nur mit der Brunschen Methode erreicht werden können. Mit Hilfe dieser letzteren ergibt sich nämlich \[ \pi (x; k,l)\leqq C\cdot\dfrac{x}{\varphi (k)\log x} \tag{4} \] für \(k\leqq x^a\), bei festem \(a\), \(0<a<1\); \((k, l) = 1\); \(2\leqq x\).
Aus (4) und (2) folgt \[ Dp(x) = O(x). \] Mit Hilfe von Untersuchungen über die \(L\)-Reihen in ihrer Abhängigkeit von dem Modul \(k\) gelangt der Verf. zu einer genaueren, aber komplizierteren Abschätzung von \(\pi (x; k, l)\) (Theorem 4, das in der “Correction” etwas abgeändert werden mußte, da an einer Stelle des Beweises eine Unterscheidung von primitiven und nicht-primitiven Charakteren übersehen worden war). Aus diesem (verbesserten) Theorem 4 und aus (2) folgt \[ Dp(x) > Ax (\log x)^{-\frac{1}{2}}. \]
Wenn man nun, wie es in dem letzten Teil der Arbeit geschieht, die auf alle \(L\)-Reihen verallgemeinerte Riemannsche Vermutung hinzunimmt, kann man statt des umständlichen Theorems 4 einfach beweisen: \[ \pi (x; k,l) = \dfrac{1}{\varphi (k)}\int\limits_2^x \dfrac{du}{\log u} + O(x^\frac{1}{2}\log x), \tag{5} \] für \(k < x\), \((k, l) = 1\). Würde man dies ohne weiteres in (2) eintragen, so würde bei großem \(k\) das Restglied von (5) stärker als das Hauptglied ins Gewicht fallen. Daher teilt der Verf. die Summe (2) in zwei Teile und wendet auf die kleinen \(k\) Formel (5) und auf die großen die mit der Brunschen Methode erzielte Formel (4) an. Dadurch kommt man zu (3).

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References:
[1] T. H. Gronwall,Sur les séries de Dirichlet correspondant à des caractères complexes [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXV (1o semestre 1913), p. 145–159. · JFM 44.0312.02
[2] E. Landau,Über die Riemann sche Zetafunktion in der Nähe von {\(\sigma\)}=I [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. L (1926), p. 423–427], § 1. · JFM 52.0338.01
[3] E. Landau,Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd. II (Leipzig, Hirzel, 1927), p. 110–122.
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