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On the relation between the different types of Abel summation. (English) JFM 56.0908.01
Wenn \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-yn^\nu}\) bei festem \(\nu > 0\) für \(\mathfrak R(y) > 0\) konvergiert und in der rechten Halbebene eine reguläre Funktion \(\varphi_\nu(y)\) darstellt, und wenn \(\varphi_\nu(y) \to s\) strebt, falls \(y = re^{i\vartheta} \to 0\), so daß \(| \vartheta | \leqq \alpha < \dfrac{\pi}{2}\), dann heißt die Reihe \(\sum a_n \;(A_\alpha, \nu)\)-summierbar zum Werte \(s\). Aus dem Verhalten von \(\varphi_\nu(y)\) im angegebenen Winkelraum wird dann auf das Verhalten der \((A_\alpha, \nu)\)-Summe von \(\sum a_n e^{-yn^\mu}\) geschlossen (diese \((A_\alpha, \nu)\)-Summe wird \(\varphi_\mu(y)\) genannt) und gezeigt:
Wenn \[ \varphi_\nu(y) = sy^{-c} \quad (c \geqq 0) \] ist, falls \(y \to 0\), so daß \(|\vartheta| \leqq \alpha < \dfrac{\pi}{2}\), dann ist \[ \varphi_\nu(y) \cong s \frac{\varGamma\left(1 + \dfrac{c\nu}{\mu}\right)}{\varGamma(1 + c)} \, y^{-\tfrac{c\nu}{\mu}}, \] wenn \(y \to 0\), so daß \(|\vartheta| \leqq \beta < \dfrac{\pi}{2} - \left(\dfrac{\pi}{2} \alpha\right) \, \dfrac{\mu}{\nu}\).
Aus der \((A_\nu, \alpha)\)-Summierbarkeit von \(\sum a_n e^{-yn^\mu}\) folgt darnach, daß \(\varphi_\mu(y) \to s\) strebt, aus der \((A_\nu, \alpha)\)-Summierbarkeit von \(\sum a_ne^{-yn^\mu}\) und der Konvergenz dieser Reihe, daß \(\sum a_n\) auch \((A_\beta, \mu)\)-summierbar zum Werte \(s\) ist.
Weiter wird gezeigt, daß, wenn \(\varphi_\nu(y)\) im Nullpunkt regulär ist oder einen Pol oder einen algebraischen Verzweigungspunkt besitzt, \(\varphi_\mu(y)\) in der ganzen Ebene (in den beiden letzten Fällen mit Ausnahme des Nullpunktes) regulär und als Reihe darstellbar ist, die in den angegebenen Bereichen konvergiert, falls \(\mu < \nu\) ist. (IV 4.)

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