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Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. (German) JFM 56.0920.04
Im folgenden bezeichne \(m(X)\) stets eine additive, nicht identisch verschwindende Mengenfunktion, welche jeder Teilmenge \(X\) einer gegebenen Menge \(E\) eine reelle Zahl zuordnet und für alle aus nur einem Punkt bestehende Mengen den Wert 0 annimmt. S. Banach u. C. Kuratowski (Fundamenta 14 (1929), 127-131; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 56) haben unter Voraussetzung der Kontinuumhypothese \(2^{\aleph_0} = \aleph_1\) folgenden, für die Maßtheorie wichtigen Satz bewiesen: Es gibt auf der Strecke \((0, 1)\) keine derartige total-additive Mengenfunktion \(m(X)\).
Banach beweist hier, daran anknüpfend, einen sehr allgemeinen, für Mengen beliebiger Mächtigkeit gültigen Satz, allerdings unter Voraussetzung der Aleph-Hypothese \(2^{\aleph_\xi} = \aleph_{\xi+1}\). Es heiße \(m(X)\) “additiv mit der Mächtigkeit \(\aleph_\xi\)” wenn für elementenfremde \(X_\eta\) stets \[ m\left(\sum_\eta X_\eta\right) = \sum_\eta m(X_\eta) \qquad 0 < \eta < \omega_\xi \] gilt, wobei \(\omega_\xi\) die erste Ordinalzahl der Mächtigkeit \(\aleph_\xi\) bezeichnet. Ferner heiße \(m(X)\) “vom Typus \(\aleph_\xi\)”, falls sie mit jeder Mächtigkeit \(< \aleph_\xi\), nicht aber mit der Mächtigkeit \(\aleph_\xi\) additiv ist. Das Resultat von Banach lautet dann: Ist \(m(X)\) vom Typus \(\aleph_\xi\), so ist \(\aleph_\xi\) eine “unerreichbare” Kardinalzahl. \(\aleph_\xi > \aleph_0\) wird dabei “unerreichbar” genannt, falls sie eine Grenzzahl ist und sich nicht als Summe von Kardinalzahlen \(< \aleph_\xi\), wobei die Anzahl der Summanden auch \(< \aleph_\xi\) ist, darstellen läßt. Ob solche “unerreichbaren” \(\aleph_\xi\) überhaupt existieren, ist unbekannt.
S. Ulam gelingt es sodann, zu beweisen, 1. daß in dem Satz von Banach die Hypothese \(2^{\aleph_\xi} = \aleph_{\xi+1}\) vollkommen entbehrlich ist; 2. daß es für den Satz von Banach-Kuratowski genügt, die folgende schwächere Hypothese vorauszusetzen: unter den Kardinalzahlen \(\leqq \mathfrak c\) gibt es keine unerreichbaren. – Zu diesem Zweck untersucht er genauer die “unmeßbaren” Kardinalzahlen \(\mathfrak u\). \(\mathfrak u\) heißt so, wenn es auf keiner Menge \(E\) der Mächtigkeit \(\mathfrak u\) ein totaladditives \(m(X)\) gibt. (II.)

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