On the partial sums of Fourier series. (English) JFM 56.0940.03

Paley, R. E. A. C.; Zygmund, A.

Studia 2, 221-227 (1930).

\(f(\vartheta)\) gehöre in \(\langle0,2\pi\rangle\) zur Lebesgueschen Klasse \(L^p\), \(p > 1\). \(s_n(\vartheta)\) bzw. \(\overline{s}_n(\vartheta)\) bezeichnen den \(n\)-ten Abschnitt der Fourierschen Reihe von \(f\) bzw. ihrer konjugierten Reihe. Bewiesen wird: Wenn für \(n\geqq0\) \[ s_n(\vartheta)\geqq-\varPhi^*(\vartheta),\quad\varPhi^*\text{ aus }L^p, \tag{1} \] gilt, so gibt es eine Funktion \(\psi(\vartheta)\) aus \(L^p\) mit \[ s_n(\vartheta)\leqq\psi(\vartheta);\quad|\overline{s}_n(\vartheta)|\leqq\psi(\vartheta). \tag{2} \] Für \(p = 1\) gibt es ein solches \(\psi\) aus \(L^{1-\varepsilon}\), \(\varepsilon>0\).

Reviewer: Rogosinski, W., Prof. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.