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Sur la théorie riemannienne de certains systèmes othogonaux. I. (French) JFM 56.0945.01

Es handelt sich um Reihenentwicklungen, die nach den Funktionen der wichtigsten (nicht-trigonometrischen) Orthogonalsysteme fortschreiten (Sturm-Liouvillesche Eigenfunktionen, Legendreschet-, Besselsche-, Laguerresche Funktionen). Für die Koeffizientenfolgen werden dabei gewisse Beschränkungen vorausgesetzt, die im wesentlichen der Riemannschen Voraussetzung (im trigonometrischen Falle), Nullfolgen zu bilden, entsprechen.
Während man nun die “Fouriersche Darstellungstheorie” dieser Reihen durch die bekannten Äquikonvergenzsätze mit den trigonometrischen Fourierreihen beherrscht, liegen in bezug auf die “Riemannsche Theorie” bisher nur Einzelergebnisse vor, die den Anschluß an die entsprechenden Sätze über trigonometrische Reihen gestatten. Dabei wurde stets das bekannte Riemannsche Summierungsverfahren der “zweiten verallgemeinerten Ableitung”, entsprechend umgestaltet, benutzt.
Verf. wendet nun in seiner breit angelegten Arbeit ein neues einfaches und fruchtbares Verfahren auf diesen Problemkreis an und behandelt damit in diesem ersten Teil die Sturm-Liouvilleschen und die Legendreschen Entwicklungen. Seine Methode ist die der “formalen Multiplikation”. Sie baut auf gewissen Konvergenzsätzen über das Produkt zweier trigonometrischer Reihen auf, das in der üblichen Weise formal zu bilden ist. Diese Sätze und ihre methodische Anwendung auf die Riemannsche Theorie sind in den §3-4 des Kapitels I ausführlich dargestellt. Im übrigen werden natürlich die asymptotischen trigonometrischen Darstellungen der zu untersuchenden Orthogonalfunktionen herangezogen.
\(M\) bezeichne ein im wesentlichen beliebiges permanentes lineares Summierungsverfahren. Es werden nun Teilmengen \(U\) des Orthogonalitätsintervalls betrachtet.
\(U\) heißt eine Teilmenge \(U_M\) (vom Cantorschen Typ), wenn jede außerhalb \(U_M\) gegen Null \(M\)-summierbare Entwicklung identisch Null ist.
Sie heißt eine Menge \(U'_M\) (vom Du Bois-Reymondschen Typ), wenn jede außerhalb \(U'_M\) gegen eine endliche \(L\)-integrierbare Funktion \(f\) \(M\)-summierbare Entwicklung die “Fourier”entwicklung von \(f\) ist.
Sie heißt eine Menge \(U^{\prime\prime}_M\) (vom Steinhaus-Banachschen Typ), wenn jede außerhalb \(U^{\prime\prime}_M\) gegen eine endliche Funktion \(f\geqq\varphi\) (\(\varphi\) integrierbar) \(M\)-summierbare Entwicklung die Fourierentwicklung der (a fortiori integrierbaren) Funktion \(f\) ist.
Das Kapitel II behandelt diese Mengen für die Sturm-Liouvilleschen Entwicklungen \[ \tag{1} \sum_{n=0}^\infty a_nv_n(z);\quad a_n\to0. \] Die \(v_n(z)\) sind die Eigenfunktionen des Randwertproblems \[ \tag{2} \begin{gathered} v''+(Q+\lambda)v=0,\\ v'-hv|_{z=0}=0,\quad v'+Hv|_{z=\pi}=0. \end{gathered} \] \(h\) und \(H\) sind dabei Konstanten, und \(Q\) ist von beschränkter Variation vorausgesetzt.
Das abschließende Hauptresultat ist:
Die drei Mengentypen \(U_M\), \(U^{\prime}_M\), \(U^{\prime\prime}_M\) sind stets für die Sturm-Liouvilleschen und die trigonometrischen Entwicklungen identisch. Natürlich sind für die letzteren nur die in \(\langle0,\pi\rangle\) liegenden Mengen \(U\) heranzuziehen.
Das Schlußkapitel behandelt analog die nach Legendreschen Polynomen fortschreitenden Entwicklungen \[ \tag{3} \sum_{n=0}^\infty a_nP_n(\cos\vartheta),\quad a_n=o(\sqrt{n}). \] Hier wird nur in der einen Richtung bewiesen, daß die Mengen \(U_M\), \(U^{\prime}_M\), \(U^{\prime\prime}_M\) für die trigonometrischen Entwicklungen es auch für die Legendreschen sind. Auf die anderen mannigfachen interessanten Ergebnisse dieser Arbeit kann hier nur ausdrücklich hingewiesen werden.

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