Sur les polynomes orthogonaux relatifs à un segment fini. (French) JFM 56.0947.04

Bernstein, S.

Journ. de Math. (9) 9, 127-177 (1930).

Es sei \(L_n^{(l)}[t(x)]\) das Minimum des Produkts \([t(x)P_n(x)]^l\), worin \(P_n(x)\) irgend ein normiertes Polynom \(n\)-ten Grades und \(t(x)\) stetig ist und in \((- 1, + 1)\) zwischen zwei festen positiven Zahlen liegt; ferner sei \(H_n^{(l)}[t(x)]\) das Minimum von \[ \int\limits_{-1}^{+1}[t(x)P_n(x)]^l\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \] Ziel der Arbeit ist, zu zeigen, daß \[ H_n^{(l)}[t(x)]\sim\frac{\varGamma\left(\dfrac12\right)\varGamma\left(\dfrac{l+1}2\right)} {\varGamma\left(\dfrac l2+1\right)}L_n^{(l)}\big(t(x)\big), \] und daß \(H_n^{(l)}\big(t(x)\big)\) und \(L_n\big(t(x)\big)\) durch dieselben Polynome erreicht werden, nämlich durch die in bezug auf \(\dfrac{t(x)}{\sqrt{1-x^2}}\) orthogonalen Polynome \(\overline{R}_n (x)\). Ist \[ |t(x+\delta)-t(x)|\,|\log\delta|^{1+\varepsilon}<k\qquad(\varepsilon>0,k>0), \] so gilt gleichmäßig in \((-1, +1)\) \[ \begin{gathered} \overline{R}_n (x)\sim\frac{\sqrt2}{\sqrt{\pi t(x)}}\cos(n\theta+\psi),\\ \theta=\operatorname{arc\,}\cos x,\quad \psi=\frac1\pi\int\limits_{-1}^{+1} \frac{\log t(z)-\log t(x)}{z-x} \sqrt{\frac{1-x^2}{1-z^2}}\,dz. \end{gathered} \] (Bisher war dies nur für die eigentlichen Tschebyscheffschen Polynome bekannt.) Beim Beweis werden zunächst die zu den Gewichten \(\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\) gehörenden Polynome – die Tschebyscheffschen – mit den zu \[ \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\prod_{i=1}^h\left(1-\frac x{a_i}\right)=t_h(x) \] gehörenden Polynomen \(R_{n,h}(x)\) verglichen; es zeigt sich, daß \[ L_n\big(\sqrt{t_h(x)}\big)\sim\frac1{2^{n-1}}\sqrt{M_h},\quad H_n^{(2)}\big(\sqrt{t_h(x)}\big)\sim\frac\pi{2^{2n-1}}\sqrt{M_h} \] ist; \(M_h\) hängt von \(t_h(x)\) ab. Diese Formeln gelten auch, wenn die Folge \(t_h(x)\) gegen eine Grenzfunktion strebt; es ist dann \[ \begin{aligned} L_n\big(\sqrt{t(x)}\big)&\sim\frac1{2^{n-1}} \exp\bigg(\frac1{2\pi}\int\limits_{-1}^{+1}\frac{\log t(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\bigg),\\ H_n^{(2)}\big(\sqrt{t(x)}\big)&\sim\frac\pi{2^{2n-1}} \exp\bigg(\frac1{\pi}\int\limits_{-1}^{+1}\frac{\log t(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\bigg). \end{aligned} \] Die zweite Formel findet sich unter etwas allgemeineren Annahmen über \(t (x)\) schon bei Szegö (Math. Ann. 82 (1921), 188-212; F. d. M. 48, 378 (JFM 48.0378.*)-380). Weiterhin werden für die \(R_{n,h}(x)\) die asymptotischen Ausdrücke abgeleitet, die sich im Falle \(t_h(x)\) leicht ergeben. Für diesen Fall wird der Fehler abgeschätzt. Nach Durchführung einer Hilfsbetrachtung, die aus \(|t(x)-t_h(x)|<\varepsilon\) in \((- 1, + 1)\) \[ |\overline{R}_n(x)-R_{n,h}(x)|=O(\varepsilon\log n)(\varepsilon\log n\to0) \] folgert, kann die asymptotische Darstellung auch für die Grenzfunktion gewonnen werden; in \((-1,+ 1)\) ist die Ordnung des Fehlers \(O\left[\dfrac1{(\log n)^6}\right]\).
Am Schlusse findet sich eine Betrachtung, daß nur im Falle \[ t(x)=\frac{(1-x)^\alpha(1+x)^\beta}{t_h(x)}\quad(\alpha,\beta=0,1) \] der asymptotische Ausdruck \(\dfrac{\cos(n\theta+\psi)}{\sqrt{t(x)}}\) ein Polynom ist. (Vgl. das Referat über die C. R-Note des Verf. unten auf dieser Seite.)

Reviewer: Hahn, Wolfgang, Studienassessor Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. D. Trigonometrische Reihen und Verwandtes.

Citations:

JFM 48.0378.*