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Über einige mit der Konvergenz im Mittel verbundenen Eigenschaften von Funktionsfolgen. (German) JFM 56.0952.01
Es sei \(L\) die Klasse aller reellen, in einem Intervall \(a \leqq x \leqq b\) definierten, quadratisch summierbaren Funktionen. Ein System \[ \varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots,\varphi_n(x),\dots \] von Funktionen der Klasse \(L\) heißt ein System “linear unabhängiger” Funktionen, wenn eine Beziehung der Form \[ \int\limits_a^b\left[\sum_{\alpha=1}^nc^\alpha\varphi_\alpha(x)\right]^2\,dx=0 \text{ stets }c^1 = c^2 =\cdots = c^n = 0 \] nach sich zieht. Unter der “Grundmatrix” eines derartigen Systems \(\{\varphi_i(x)\}\) wird die symmetrische Matrix \[ ||\varphi_{ij}||\text{ mit } \varphi_{ij}=\int\limits_a^b\varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx\qquad(i,j=1,2,\dots) \] verstanden. Weiter wird als “Raum \(R\{\varphi_i\}\)” bzw. “Feld \(P\{\varphi_i\}\)” die Gesamtheit aller Funktionen (der Klasse \(L\)) bezeichnet, welche sich durch lineare Kombinationen der Form \[ P(x)=\sum_{\alpha=1}^nb^\alpha\varphi_\alpha(x) \] beliebig genau im Mittel bzw. gleichmäßig approximieren lassen.
Verf. überträgt zunächst (§ 1) die für orthogonale Systeme bekannten fundamentalen Tatsachen, insbesondere die Besselsche Ungleichung, die Parsevalsche Gleichung und den Fischer-Rieszschen Satz auf beliebige linear unabhängige Systeme \(\{\varphi_i(x)\}\). Dabei tritt an die Stelle der im orthogonalen Fall auftretenden Quadratsumme der Komponenten \[ A_i=\int\limits_a^bf(x)\varphi_i(x)\,dx \] einer Funktion \(f (x)\) der Klasse \(L\) in bezug auf das System \(\{\varphi_i(x)\}\) eine allgemeinere quadratische Form dieser Komponenten, deren Koeffizienten jedoch allein durch die Grundmatrix bestimmt werden. Weiter wird, als Verallgemeinerung des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens, eine Methode angegeben, die es ermöglicht, einen gegebenen Raum \(R\{\varphi_i\}\) aus einem System \(\{\psi_i(x)\}\) mit vorgeschriebener Grundmatrix aufzubauen.
In § 2 werden dichte Systeme behandelt. Ein System \(\{\varphi_i(x)\}\) heißt “quadratisch dicht” bzw. “absolut dicht”, wenn der Raum. bzw. das Feld einer jeden von seinen (unendlichen) Teilfolgen mit dem Raum bzw. dem Feld des ganzen Systems zusammenfällt. Es wird ein Kriterium für quadratisch dichte Systeme bewiesen, das zeigt, daß die quadratische Dichtigkeit eine Eigenschaft ist, die ausschließlich von der Grundmatrix abhängt. Ferner wird eine Methode zur effektiven Konstruktion von absolut dichten Systemen durch lineare Transformation absolut stetiger Funktionen angegeben.
§ 3 bezieht sich auf sogenannte “\(B\)-Systeme”. Darunter werden Systeme \(\{\varphi_i(x)\}\) verstanden, zu denen in \(L\) wenigstens ein System \(\{\varphi^i(x)\}\) existiert, das mit \(\{\varphi_i(x)\}\) zusammen ein biorthogonales System bildet. Neben notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß ein Funktionensystem ein \(B\)-System ist, werden Eigenschaften der \(B\)-Systeme bewiesen, die es ermöglichen, jeder Funktion \(f (x)\) aus \(L\) in bezug auf ein biorthogonales System (entsprechend der allgemeinen Fourierreihe bei Orthogonalsystemen) zwei “biorthogonale Reihen” zuzuordnen. Daran anschließend wird die Frage, wieweit diese Reihen im Mittel konvergieren, erörtert.
Endlich enthält § 4 einige Beispiele, welche die Ergebnisse der §§ 2 und 3 illustrieren.

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