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Generalized harmonic analysis. (English) JFM 56.0954.02

In der vorliegenden Arbeit unternimmt es der Verf., einen Überblick über die wichtigsten Ergebnisse der verallgemeinerten harmonischen Analyse, unter Anwendung der von ihm ausgearbeiteten Methoden, zu geben. Der von N. Wiener befolgte Weg erstrebt eine Einheitlichkeit in den Forschungsmethoden, die über das Formale hinaus in verschiedene Gebiete der Mathematik und Physik einzudringen gestattet.
Der Kern der Methode findet sich bei Schuster, dessen Bedeutung erst durch die mathematische Ausgestaltung der Theorie durch N. Wiener ins richtige Licht gebracht wird. In der Sprache des Verf. läßt sich die mathematisch-statistische Theorie Schusters in die folgende Form fassen:
Es sei gegeben eine Funktion \(f (x)\), dann bilde man \[ \varphi(x) = \lim_{T=\infty} \frac1{2T} \int\limits_{-T}^T f(x+t) \overline f(t)\,dt, \tag{1} \] woraus sich die folgende Darstellung des Spektrums \(S (u)\) der Funktion \(f (x)\) ergibt: \[ S(u) = \frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \varphi(x) \frac{e^{ixu}-1}{ix}\,dx. \tag{2} \] Die Stellen, wo \(S (u)\) unstetig ist, geben gerade die Periodozitäten der Funktion \(f(x)\) an, während die Größe des Sprunges das Quadrat der Amplitude darstellt.
Im ersten Kapitel wird nochmals ein direkter Beweis des Plancherelschen Satzes, welcher die Beziehung quadratisch integrierbarer Funktionen zu ihren Fourierschen Transformierten herstellt, gegeben; sodann wird auf die Schustersche Theorie eingegangen und diese in die Sprache des Verf. eingereiht; hierbei wird die Funktion \(S (u)\) als das integrierte Periodogramm von \(f (x)\) bezeichnet, da es gerade die Periodozitäten von \(f(u)\) angibt, deren Aufsuchung sich Schuster zur Aufgabe stellte.
Im zweiten Kapitel wird das Spektrum \(S (u)\) einer Funktionenklasse \(f(x)\) studiert, für die stets (1) existiert; für diese Klasse wird nachgewiesen, daß \(S (u)\) positiv ist, bzw. daß \(S (u)\) eine monoton wachsende Funktion ist, für die \[ S(+\infty) - S(-\infty) = \varphi(0), \] falls \(\varphi (x)\) für \(x = 0\) stetig ist. Nachher wird mit Hilfe der Verallgemeinerung des Tauberschen Theorems der Ausdruck für \(M(f^2)\) angegeben, welcher direkt zu dem Parsevalschen Satze führt, falls man in geeigneter Weise den betrachteten Funktionen eine Transformierte (Spektrum) zuordnet. Diese Zuordnung wird nachher auch für Funktionen mit polynomialem Verhalten im Unendlichen als möglich nachgewiesen. Nebenbei wird auch die Darstellungsmöglichkeit der Funktion \(f (x)\) durch die Transformierte untersucht, und zwar sowohl für den Fall der gewöhnlichen Transformierten als auch im Falle der verallgemeinerten, von Hahn und Bochner studierten Transformierten.
Im Kapitel III wird gezeigt, daß die verallgemeinerte “Harmonic analysis” in verschiedenen Richtungen verallgemeinerungsfähig ist. Im § 8 dieses Kapitels wird die Theorie auf \(n\)-dimensionale Vektorbereiche erweitert. Im § 9 hingegen wird eine vom Verf. aufgestellte Theorie entwickelt, welche ermöglicht, die harmonische Analyse auf lineare Aggregate von Funktionengruppen anzuwenden, wodurch Kriterien über die Kohärenz, bzw. Inkohärenz von Lichtquellen gewonnen werden. Und zwar wird einer Funktionengruppe \(f_i(t)\) eine Hermitesche Matrix \(\| S_{ik}(u) \|\) zugeordnet, deren Elemente durch \[ S_{ik}(u) =\frac1{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \varphi_{ik}(\tau)\frac{e^{i\tau u}-1}{i\tau}\, d\tau \] gegeben sind, wobei \[ \varphi_{ik}(\tau)=\lim_{T\to\infty} \frac1{2T} \int\limits_{-T}^T f_i(t+\tau)\overline f_k(t)\,dt \] ist. Diese Matrix liefert gerade ein Kriterium über die Kohärenz von Lichtquellen, welche durch die Funktionen \(f_i(t)\) charakterisiert sind. In diesem Zusammenhange werden dann die einfachsten Matrizen für polarisiertes Licht untersucht, mit deren Hilfe ein quantitatives Maß für die Polarisation bestimmt wird. Nach einem Hinweise auf die \(n\)-dimensionale Korrelationstheorie wird im § 10 die Transformationsgruppe, welche den Ausdruck \[ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline f(x)\,dx \] invariant läßt, untersucht und als analog erkannt zur Translationsgruppe, welche in der gewöhnlichen harmonischen Analysis von Belang ist.
Im nächsten Kapitel IV wird die Existenz von Funktionen nachgewiesen, deren Spektrum stetig, aber nicht absolut stetig ist. Ferner wird ein anderer Weg angegeben, um konstruktiv zu beweisen, daß die vorgebrachte Theorie nicht leer ist, und dies führt gleichzeitig zu einer interessanten wahrscheinlichkeitstheoretischen Auffassung der Spektra.
Im letzten Kapitel V wird auf die Theorie der fastperiodischen Funktionen speziell eingegangen. Ist \(f(x)\) fastperiodisch, so existiert \(\varphi(t)\) und somit auch das Spektrum \(S (u)\); von diesem wird nachgewiesen, daß es ein reines Linienspektrum ist, und hieraus ergibt sich die Parsevalsche Relation für fastperiodische Funktionen. Nachher wird ein neuer Beweis für den Weierstraßschen Approximationssatz gegeben, wobei die zum Beweise verwendete Methode die Genauigkeit der Approximation festzustellen gestattet. Diese Methode ermöglicht den Approximationssatz auch auf die verallgemeinerten fastperiodischen Funktionen auszudehnen, und dies wird für die von Muckenhaupt behandelten im Mittel fastperiodischen Funktionen explicito durchgeführt. Hierbei wird auch auf eine Anwendung der letztstudierten Klasse auf die Dynamik hingewiesen. (IV 3 C, 7, 16; VI 3; VII 3.)

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References:

[1] A. C. Berry 1. Doctoral dissertation, Harvard, 1929. Unpublished. (8)
[2] – 2. The Fourier transform theorem. Jour. Math. and Phys. Mass. Inst. Technology 8, 106–118. (1929). (8) · JFM 55.0753.01
[3] A. Besicovitch 1. Sur quelques points de la théorie des fonctions presque périodiques. C.R. 180, 394–397. (1925). (5)
[4] – 2. On Parseval’s theorem for Dirichlet series. Proc. Lond. Math. Soc. 25, 25–34. (1926). (5) · JFM 52.0332.02
[5] – 3. On generalized almost periodic functions. Proc. Lond. Math. Soc. 24, 495–512. (1926). (5) · JFM 52.0263.01
[6] A. Besicovitch andH. Bohr 1. Some remarks on generalizations of almost periodic functions. Danske Vidensk. Selskab. 8, No. 5. (1927). (5)
[7] – 2. On generalized almost periodic functions. Journ. Lond. Math. Soc. 3, 172–176. (1928). (5) · JFM 54.0294.01
[8] G. D. Birkhoff. Dynamical systems. Am. Math. Society, New York, 1927. Pp. 218–220. (5) · JFM 53.0732.01
[9] S. Bochner 1. Properties of Fourier series of almost periodic functions. Proc. Lond. Math. Soc. 26, 433. (1925). (5) · JFM 53.0254.05
[10] – 2. Sur les fonctions presque-périodiques de Bohr. C.R. 180, 1156. (1925). (5) · JFM 51.0213.02
[11] – 3. Beiträge zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. Math. Ann. 96, 119–147. (1926). (5) · JFM 52.0261.01
[12] – 4. Beiträge zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. Math. Ann. 96, 383–409. (1926). (5) · JFM 52.0265.01
[13] S. Bochner 5. Über Fourierreihen fastperiodischer Funktionen. Berliner Sitzungsberichte, 26. (1926). (5) · JFM 52.0265.01
[14] – 6. Konvergenzsätze für Fourierreihen grenzperiodischer Funktionen. Math. Zeitschr. 27, 187–211. (1927). (5) · JFM 53.0255.01
[15] – 7. Darstellung reellvariabler und analytischer Funktionen durch verallgemeinerte Fourier- und Laplace-Integrale. Math. Ann. 97, 632–674. (1926–7). (8)
[16] S. Bochner 8. Über gewisse Differential- und allgemeinere Gleichungen, deren Lösungen fastperiodisch sind. I. Teil. Der Existenzsatz. Math. Ann. 102, 489–504. (1929). (5) · JFM 55.0863.01
[17] S. Bochner andG. H. Hardy. Note on two theorems of Norbert Wiener. Jour. Lond. Math. Soc. 1, 240–242. (1926). (10) · JFM 52.0285.01
[18] P. Bohl. Über die Darstellung von Funktionen einer Variabeln durch trigonometrische Reihen mit mehreren einer Variabeln proportionalen Argumenten. (Dorpat, 1893). (3)
[19] H. Bohr 1. Sur les fonctions presque périodiques. C.R. Oct. 22, 1923. (5)
[20] H. Bohr 2. Sur l’approximation des fonctions presque périodiques par des sommes trigonométriques. C.R. Nov. 26, 1923. (5)
[21] H. Bohr 3. Über eine quasi-periodische Eigenschaft Dirichletscher Reihen mit Anwendung auf die DirichletschenL-Funktionen. Math. Ann. 85, 115–122. (4) · JFM 48.0343.02
[22] H. Bohr 4. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. Acta Math. 45, 29–127. (124). (5) · JFM 50.0196.01
[23] – 5. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. II. Acta Math. 46, 101–214. (1925). (5) · JFM 51.0212.02
[24] – 6. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. III. Acta Math. 47, 237–281. (1926). (5) · JFM 52.0330.04
[25] – 7. Einige Sätze über Fourierreihen fastperiodischer Funktionen. Math. Ztschr. 23, 38–44. (1925). (5) · JFM 51.0215.01
[26] – 8. Sur une classe de transcendantes entières. C.R. 181, 766. (1925). (5) · JFM 51.0254.02
[27] – 9. Sur le théorème d’unicité dans la théorie des fonctions presque-périodiques. Bull. Sci. Math. 50, 1–7. (1926). (5)
[28] H. Bohr 10. On the explicit determination of the upper limit of an almost periodic function. Jour. Lond. Math. Soc. 1. (1926). (5) · JFM 52.0259.04
[29] H. Bohr 11. Ein Satz über analytische Fortsetzung fastperiodischer Funktionen. Crelle, 157, 61–65. (5) · JFM 52.0331.01
[30] H. Bohr 12. En Klasse hele transcendente Funktioner. Mat. Tidsskrift, B. Aarg. 1926, 41–45. (5) · JFM 52.0333.02
[31] – 13. Allgemeine Fourier- und Dirichlet-Entwicklungen. Abh. aus dem math. Sem. d. Hamburgischen Univ. 4, 366–374. (1926). (5) · JFM 52.0259.03
[32] – 14. Fastperiodische Funktionen. Jahresb. d. D.M.V. 33, 25–41. (1925). (5)
[33] H. Bohr 15. En Sætning om Fourierrækker for næstenperiodiske Funktioner. Mat. Tid. B. Aarg. 1924, 31–37. (5) · JFM 51.0215.03
[34] – 16. Über die Verallgemeinerungen fastperiodischer Funktionen. Math. Ann. 99, 357–366. (1928). (5) · JFM 54.0293.02
[35] H. Bohr andO. Neugebauer. Über lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und fastperiodischer rechter Seite. Gött. Sitzb. 1926, 1–13. (5) · JFM 52.0464.01
[36] E. Borel. Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. Rend. di Palermo 27, 247–271. (1909). (10) · JFM 40.0283.01
[37] J. C. Burkill. 1. The expression in Stieltjes integrals of the inversion formulae of Fourier and Hankel. Proc. Lond. Math. Soc. 25, 513–524 (1926). (7) · JFM 52.0285.04
[38] J. C. Burkill 2. On Mellin’s inversion formula. Proc. Camb. Phil. Soc. 23, 356–360. (1926). (7) · JFM 52.0401.01
[39] V. Bush, F. D. Gage, andH. R. Stewart. A continuous integraph. Jour. Franklin Institute. 63–84. (1927). (10)
[40] V. Bush andH. L. Hazen. Integraph solution of differential equations. 575–615. (1927). (10)
[41] Carse andShearer. A course in Fourier’s analysis and periodogram analysis for the mathematical laboratory. London, 1915. (2) · JFM 45.0417.13
[42] P. J. Daniell 1. A general form of integral. Annals of Math. 19, 279–294. (1918). (10) · JFM 46.0395.01
[43] – 2. Integrals in an infinite number of dimensions. Ann. of Math. 20, 281–288. (1919). (10) · JFM 46.0396.01
[44] – 3. Further properties of the general integral. Ann. of Math. 21, 203–220. (1920). (10) · JFM 47.0911.02
[45] W. Dorn. Fouriersche Integrale als Grenzwerte Fourierscher Reihen. Wiener Sitzungsber., 1926, 127–147. · JFM 52.0282.01
[46] A. Einstein. Zur Theorie der Brownschen Bewegung. Ann. der Phys. (4) 19, 372–381. (1906). (10) · JFM 37.0814.02
[47] E. Esclangon 1. Sur une extension de la notion de périodicité. C.R. 135, 891–894. (1902). (3) · JFM 33.0437.03
[48] – 2. Sur les fonctions quasi périodiques moyennes, déduites d’une fonction quasi périodique. C.R. 157, 1389–1392. (1913). (3) · JFM 44.0508.01
[49] – 3. Sur les intégrales quasi périodiques d’une équation différentielle linéaire. C.R. 160, 652–653. (1915). (3)
[50] – 4. Sur les intégrales quasi périodiques d’une équation différentielle linéaire. C.R. 161, 488–489. (1915). (3)
[51] J. Favard 1. Sur les fonctions harmoniques presque-périodiques. C.R. 182, 757. (1926). (5) · JFM 52.0490.01
[52] – 2. Sur les equations différentielles à coefficients presque-periodiques. Acta Math. 51, 31–81. (1927). (5) · JFM 53.0409.02
[53] P. Franklin 1. Almost periodic recurrent motions. Math. Ztschr. 30, 325–331. (1929). (5) · JFM 55.1094.01
[54] – 2. The elementary theory of almost periodic functions of two variables. Jour. Math. Phys. M.I. T. 5, 40–55. (1925). (5)
[55] – 3. The fundamental theorem of almost periodic functions of two variables. Jur. Math. Phys. M.I. T. 5, 201–237. (1926). (5) · JFM 52.0264.02
[56] – 4. Classes of functions orthogonal on an infinite interval, having the power of the continuum. Jour. Math. Phys. M.I. T. 8, 74–79. (1929). (5) · JFM 55.0758.01
[57] – 5. Approximation theorems for generalized almost periodic functions. Math. Ztschr. 29, 70–87. (1928). (5) · JFM 54.0293.03
[58] G. L. Gouy. Sur le mouvement lumineux. Journal de physique, 5, 354–362. (1886). (1) · JFM 17.0986.02
[59] H. Hahn 1. Über die Verallgemeinerung der Fourierschen Integralformel. Acta Math. 49, 301–353. (1926). (7) · JFM 53.0272.02
[60] H. Hahn 2. Über die Method der arithmetischen Mittel in der Theorie der verallgemeinerten Fourierintegrele. Wiener Sitzungsber., 1925, 449–470. · JFM 51.0232.01
[61] G. H. Hardy, A. E. Ingham, andG. Pólya. Notes on moduli and mean values. Proc. Lond. Math. Soc. 27, 401–409. (1928). · JFM 54.0331.06
[62] E. W. Hobson. The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier series. Vol. 2, second edition. Cambridge, 1927. · JFM 53.0226.01
[63] S. Izumi i Über die Summierbarkeit der Fourierschen Integralformel. Tôhoku Journal 30, 96–110. (1929) · JFM 55.0167.02
[64] – 2. On the Cahen Mellin’s Inversion Formula. Tôhoku Journal 30, 111–114. (1929). · JFM 55.0154.02
[65] M. Jacob 1. Über ein Theorem von Bochner-Hardy-Wiener. Jour. Lond. Math. Soc. 3, 182–187. (1928). · JFM 54.0277.01
[66] – 2. Über den Eindeutigkeitssatz in der Theorie der verallgemeinerten trigonometrischen Integrale. Math. Ann. 100, 279–294. (1928) · JFM 54.0321.01
[67] – 3. Über den Eindeutigkeitssatz in der Theorie der trigonometrischen Integrale. Math. Ann. 97, 663–674. (1927). · JFM 53.0260.01
[68] G. W. Kenrick 1. Doctoral dissertation, Mass. Inst. Technology, 1927.
[69] – 2. The analysis of irregular motions with applications to the energy frequency spectrum of static and of telegraph signals. Phil. Mag. (7) 7, 176–196. (1929).
[70] E. H. Linfoot. Generalization of two theorems of H. Bohr. Jour. Lond. Math. Soc. 3, 177–182. (1928). · JFM 54.0366.01
[71] S. B. Littauer. On a theorem of Jacob. Jour. Lond. Math. Soc. 4, 226–231. (1929). · JFM 55.0161.01
[72] K. Mahler. On the translation properties of a simple, class of arithmetical functions. J. Math. Phys. Mass. Inst. Technology 6, 158–164. (1927). · JFM 53.0265.03
[73] C. F. Muckenhoupt. Almost periodic functions and vibrating systems. Doctoral dissertation, Mass. Inst. Technology 1929. J. Math. Phys. Mass. Inst. Technology 8, 163–200. (1929). · JFM 55.0759.01
[74] M. Plancherel, I. Contribution à l’étude de la répresentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies. Rendiconti di Palermo, 30, 289–335. (1910). · JFM 41.0472.01
[75] – 2. Sur la représentation d’une fonction arbitraire par une intégrale définie. C.R. 150, 318–321. (1910). · JFM 41.0456.01
[76] – 3. Sur la convergence et sur la sommation par les moyennes de Cesàro de \(\mathop {lim}\limits_{z = \infty } \int\limits_a^z {f\left( x \right)\cos xydx} \) . Math. Ann. 76, 315–326. (1915). · JFM 45.0459.01
[77] H. Poincaré. Leçons sur la théorie mathématique de la lumière. Paris, 1889.
[78] S. Pollard I. The summation of a Fourier integral. Proc. Camb. Phil. Soc. 23, 373–382. (1926). · JFM 52.0283.02
[79] – 2. On Fourier’s integral. Proc. Lond. Math. Soc. 26, 12–24. (1927). · JFM 52.0283.01
[80] S. Pollard 3. Identification of the coefficients in a trigonometrical integral. Proc. Lond. Math. Soc. 25, 451–468. (1926). · JFM 52.0282.02
[81] A. Pringhseim. Über neue Gültigkeitsbedingungen der Fourierschen Integralformel. Math. Ann. 68, 367–408 (1910). · JFM 41.0332.01
[82] J. Radon, Theorie und Anwendungen der absolutadditiven Mengenfunktionen. Wien. Ber. 122, 1295–1438. (1913). · JFM 44.0464.03
[83] LordRayleigh 1. On the, resultant of a large number of vibrations of the same pitch and of arbitrary phase. Phil. Mag. 10, 73–78. (1880).
[84] LordRayleigh 2. Wave theory of light. Ency. Britt, 1888. Cf. especially § 4.
[85] – 3. On the character of the complete radiation at a given temperature. Phil. Mag. 27, 460. (1889). · JFM 21.1200.01
[86] – 4. Röntgen rays and ordinary light. Nature, 57, 607. (1898).
[87] – 5. On the spectrum of an irregular disturbance. Phil. Mag. 5, 238–243. (1903). · JFM 34.0880.02
[88] – 6. Remarks concerning Fourier’s theorem as, applied to physical problems. Phil. Mag. 24, 864–869. (1912). · JFM 43.0334.04
[89] – 7. On the problem of random vibrations, and of random flights in one, two, or three dimensions. Phil. Mag 37, 321–347. (1919). · JFM 47.0485.02
[90] – 8. On the resultant of a number of unit vibrations, whose phases are at random over a range not limited to an integral number of periods. Phil. Mag. 37, 498–515. (1919). · JFM 47.0486.01
[91] F. Riesz. Sur la formule d’inversion de Fourier. Acta litt. ac Sci. Univ. Hung. 3, 235–241. (1927). · JFM 53.0275.01
[92] H. L. Rietz. Mathematical statistics. Chicago, 1927. · JFM 53.0509.05
[93] R. Schmidt 1. Über divergente Folgen und lineare Mittelbildungen.. Math. Ztschr. 22, 89–152. (1925). · JFM 51.0182.04
[94] – 2. Über das Borelsche Summierungsverfahren. Schriften der Köningsberger gelehrten Gesellschaft, 1, 202–256. (1925).
[95] – 3. Die trigonometrische Approximation für eine Klasse von verallgemeinerten fastperiodischen Funktionen. Math. Ann. 100, 334–356. (1928). · JFM 54.0295.03
[96] I. Schoenberg 1. Über total monotone Folgen mit stetiger Belegungsfunktion. Mat. Ztschr. 30, 761–768. (1929). · JFM 55.0122.01
[97] – 2. Über die asymptotische Verteilung reeller Zahlen mod i. Mat. Ztschr. 28, 177–200 (1928).
[98] A. Schuster 1. On interference phenomena. Phil. Mag. 37, 509–545. (1894). · JFM 25.1618.01
[99] – 2. The periodogram of magnetic declination. Camb. Phil. Trans. 18, 108. (1899).
[100] – 3. The periodogram and its optical analogy. Proc. Roy. Soc. 77, 136–140. (1906). · JFM 37.0858.03
[101] A. Schuster 4. The theory of optics. London, 1904.
[102] – 5. On lunar und solar periodicities of earthquakes. Proc. Roy. Soc. London 61, 455–465. (1897). · JFM 28.0860.03
[103] – 6. On hidden periodicities. Terrestrial Magnetism 3, 13. (1897).
[104] – 7. The periodogram of magnetic declination. Trans. Camb. Phil. Soc. 18, 107–135. (1900).
[105] H. Steinhaus. Les probabilités dénombrables et leur rapport à la théorie de la mésure. Fund. Math. 3, 286–310. (1923). · JFM 49.0361.01
[106] W. Stepanoff Über einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen. Math. Ann. 90, 473–492. (1925). · JFM 52.0262.01
[107] G. Szegö. Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. Math. Ann. 96, 378–382. (1926). · JFM 52.0333.01
[108] G. I. Taylor. Diffusion by continuous movements. Proc. Lond. Math. Soc. 20, 196–212. (1920). · JFM 48.0961.01
[109] E. C. Titchmarsh 1. A contribution to the theory of Fourier transforms. Proc. Lond. Math. Soc. 23, 279–289. (1924). · JFM 50.0201.02
[110] – 2. Recent advances in science mathematics. Science progress91, 372–386. (1929).
[111] D. de la Vallée Poussin 1 Sur les fonctions presque périodiques de H. Bohr. Annales de la Societé Scentifique de Bruxelles, A, 47, 141 (1927). · JFM 54.0295.01
[112] – 2. Sur les fonctions presque périodiques de H. Bohr. Note complementaire et explicative. A.S.S. Bruxelles, A, 48, 56–57. (1928).
[113] T. Vijayaraghavan 1. A Tauberian theorem. Jour. Lond. Math. Soc. 1, 113–120. (1926). · JFM 52.0221.01
[114] – 2. A theorem concerning the summability of series by Borel’s method. Proc. Lond. Math. Soc. 27, 316–326. (1928). · JFM 54.0237.01
[115] V. Volterra. Leçons sur les, fonctions de lignes. Paris, 1913. · JFM 44.0410.01
[116] J. D. Walsh. A generalization of the Fourier cosine series. Trans. Am. Math. Soc. 21, 101–116. (1920).
[117] H. Weyl 1. Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen. Math. Ann. 97, 338–356. (1926). · JFM 52.0260.02
[118] H. Weyl 2. Beweis des Fundamentalsatzes in der Theorie der fastperiodischen Funktionen. Berliner Sitzungsber. 1926, 211–214. · JFM 52.0260.01
[119] – 3. Quantenmechanik und Gruppentheorie. Ztschr. f. Physik 46, 1–46. (1927). · JFM 53.0848.02
[120] N. Wiener 1. On the representation of functions by trigonometrical integrals. Math. Ztschr. 24, 575–617. (1925). · JFM 51.0228.06
[121] – 2. The harmonic analysis of irregular motion. J. Math. Phys. Mass. Inst. Technology 5, 99–122. (1925).
[122] – 3 The harmonic analysis of irregular motion II. J.M.P.M.I.T. 5, 158–191. (1926). · JFM 52.0284.03
[123] – 4. The spectrum of an arbitrary function. Proc. Lond. Math. Soc. 27, 487–496. (1928). · JFM 54.0295.04
[124] – 5. Coherency matrices and quantum theory. J.M.P.M.I.T. 7, 109–125. (1928). · JFM 54.0978.03
[125] – 6. Harmonic analysis and the quantum theory. Jour. of Franklin Institute 207, 525–534. (1929). · JFM 57.1211.02
[126] – 7. The average of an, analytic functional. Proc. Nat. Acad. Sci. 7, 253–260. (1921). · JFM 48.0617.12
[127] – 8. The average of an analytic functional and the Brownian motion. Proc. Nat. Acad. Sci. 7, 294–298. (1921).
[128] N. Wiener 9. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients. J.M.P.M.I.T. 3, 72–94. (1924). · JFM 50.0203.01
[129] – 10. Differential-space. J.M.P.M.I.T. 2, 131–174. (1923).
[130] – 11. The average value of a functional. Proc. Lond. Math. Soc. 22, 454–467. (1922). · JFM 50.0290.01
[131] – 12. On a theorem of Bochner and Hardy. Jour. Lond. Math. Soc. 2, 118–123. (1927). · JFM 53.0217.01
[132] – 13. A new method in Tauberian theorems. J.M.P.M.I.T. 7, 161–184. (1928). · JFM 54.0241.01
[133] – 14. The spectrum of an array and its application to the study of the translation properties of a simple class of arithmetical functions. J.M.P.M.I.T. 6, 145–157. (1927). · JFM 53.0265.02
[134] – 15. Harmonic analysis and group theory. J.M.P.M.I.T. 8, 148–154. (1929). · JFM 55.0821.02
[135] – 16. The operational calculus. Math. Ann. 95, 557–584. (1926). · JFM 52.0416.01
[136] N. Wiener 17. Verallgemeinerte trigonometrische Entwicklungen. Gött. Nachrichten, 1925, 151–158.
[137] A. Wintner. Spektraltheorie der unendlichen Matrizen. Leipzig, 1929. · JFM 55.0230.02
[138] W. H. Young On non-harmonic Fourier series. Proc. Lond. Math. Soc. 18, 307–335. (1919).
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