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Über nicht fortsetzbare Potenzreihen mit Lücken. (German) JFM 56.0960.01
In ihrer ursprünglichen Fassung fordert die Hadamardsche Lückenbedingung (Journ. de Math. (4) 8 (1892), 101-186, insbes. p. 116; F. d. M. 24, 359 (JFM 24.0359.*)-360) bekanntlich die Existenz einer positiven Zahl \(\vartheta < 1\) mit der folgenden Eigenschaft: Ist \(a_{n_\nu}\) ein nicht verschwindender Koeffizient, so sollen alle der “\(\vartheta\)-Umgebung” von \(a_{n_\nu}\) angehörenden \(a_n\), d. h. alle \(a_n\) mit \[ n_\nu-\vartheta n_\nu \leqq n\leqq n_\nu +\vartheta n_\nu \tag{1} \] außer \(a_{n_\nu}\) selbst verschwinden. Die bekannten Verallgemeinerungen bestehen in einer Besränkung dieser Forderung auf die \(\vartheta\)-Umgebungen einer Teilfolge \(a_{n_{\varrho_\nu}}\) der Folge \(a_{n_\nu}\) der nichtverschwindenden Koeffizienten, die noch der Nebenbedingung \[ \limsup_{\nu\to\infty} \root n_{\varrho_\nu} \of{\left|a_{n_{\varrho_\nu}}\right|} = \limsup_{\nu\to\infty}\root n_\nu \of {|a_{n_\nu}|} \] zu genügen hat (Hadamard, l. c.), in der Zulassung nichtverschwindender Ausnahmekoeffizienten, derart daß für die Anzahl \(k_\nu\) der in der \(\vartheta\)-Umgebung von \(a_{n_{\varrho_\nu}}\) liegenden jedoch \[ \lim_{\nu\to\infty} \frac{k_\nu}{n_{\varrho_\nu}} = 0 \tag{2} \] gilt (Fabry; Acta Math. 22 (1898), 65-87 (F. d. M. 29, 209 (JFM 29.0209.*)-210), insbesondere p. 86) schließlich in der Beschränkung der letzten Bedingung (2) lediglich auf die Anzahl der rechts oder auch der links von \(a_{n_{\varrho_\nu}}\) gelegenen Ausnahmekoeffizienten (Pólya; Math. Ann. 99 (1928), 687-706 (F. d. M. 54, 340 (JFM 54.0340.*)-341) insbesondere S. 703, Fußnote\(\,{}^{18}\))). Die Größenordnung der \(\vartheta\)-Umgebungen selbst läßt sich jedoch, wie Verf. durch Ausgestaltung eines in einer früheren Arbeit gegebenen Beispiels (M. Z. 30 (1929), 725-753 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 765-766), insbesondere S. 76) zeigt, ohne Kompensationen anderer Art nicht erniedrigen. Genauer: Es ist unmöglich, in (1) die Größe \(\vartheta n_\nu\) durch \(\dfrac{n_\nu}{\varphi(n_\nu)}\) zu ersetzen, wo \(\varphi(n)\) eine beliebige positive mit \(n\) monoton gegen \(\infty\) gehende Funktion ist. Dagegen ist eine wesentliche Erniedrigung dieser Größenordnung möglich, sobald man Wachstumsbeschränkungen für die nichtverschwindenden Koeffizienten hinzunimmt, wie der folgende in der vorliegenden Arbeit bewiesene Satz lehrt:
Die Potenzreihe \[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n,\quad \limsup_{n\to\infty} \root n \of{|a_n|} =1, \] ist nicht über den Konvergenzkreis hinaus fortsetzbar, wenn eine positive, nicht abnehmende Funktion \(\varphi(n)\) mit \[ \frac{\varphi(2n)}{\varphi(n)} = O(1),\quad \frac{\varphi(n)\log n}{n}=o(1) \] existiert, so daß
a) \(| a_n | < n^{K\varphi(n)}\) (\(K\) beliebige Konstante), \(n = 1\), 2, \(\ldots\),
b) für eine unendliche Teilfolge \(a_{n_1}\), \(a_{n_2}\), \(\ldots\) der \(a_n\) \[ \left|a_{n_\nu}\right| > n_\nu^{-K\varphi(n_\nu)} \qquad(\nu=1,\,2,\,\ldots) \] ist, und
c) alle Koeffizienten \(a_n\), deren Indices den Ungleichungen \[ n_\nu-\left[ \sqrt{n_\nu\log n_\nu\varphi(n_\nu)}\right] \leqq n\leqq n_\nu+\left[\sqrt{n_\nu\log n_\nu\varphi(n_\nu)} \right] \] genügen, mit Ausnahme von \(a_{n_\nu}\) selbst, verschwinden.

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