Sur l’ordre de grandeur de la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann dans la bande critique. (French) JFM 56.0978.03

van der Corput, J. G.; Koksma, J. F.

Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse (3) 22, 1-39 (1930).

Es wird allgemeiner, ohne daß die Betrachtungen erschwert werden, die Funktion
\[ \zeta(s,w)=\sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+w)^s} \]
untersucht. Wir setzen \(s =\sigma +it\). Dann lautet das erste Ergebnis der Arbeit:
I. Für \(0 < w \le 1\), \(\frac12\le\sigma < 1\), \(t > e\) ist
\[ \left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| < c_1\left( \frac{t^{\lambda(\sigma)}}{\log\dfrac1{1-\sigma}} + \frac1{\log\log t}\right)\cdot\log t, \]
wenn \(\lambda (\sigma)\) folgendermaßen definiert ist: \(g\) sei ganz \(\ge 3\), \(\gamma=2^g\). Die Zahlen \(1-\dfrac{g}{\gamma-2}\) wachsen monoton. An diesen Stellen soll nun \(\lambda(\sigma)\) für \(\frac12\le \sigma < 1\) den Wert \(\dfrac{1}{\gamma-2}\) haben, dazwischen linear sein.
Zweitens wird gezeigt:
II. Wenn \(\sigma\) von den Werten \(1-\dfrac{g}{\gamma-2}\) einen festen Abstand \(\beta\) nicht unterschreitet, ist
\[ \left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| < \frac{c_2}\beta t^{\lambda(\sigma)}. \]
Wir setzen
\[ \varDelta=\left|\zeta(s,w)-\frac1{w^s}\right| . \]
Die Einschränkungen: Die Untersuchungen gelten dem Streifen \(0\le\sigma\le 1\). Wegen
\[ |\zeta(\sigma-it)|=|\zeta(\sigma+it)| \]
genügt es, \(t \ge 0\) zu betrachten.
Wegen der Funktionalgleichung
\[ \zeta(1-s)=\frac2{(2\pi)^s} \varGamma(s) \cos\frac{\pi s}2 \cdot \zeta(s) \]
kann man sich auf \(\frac12\le\sigma\le1\) beschränken.
Da das Verhalten von \(\zeta (s)\) im Rechteck \(\frac12\le\sigma\le 1\), \(0\le t\le e\) hinreichend bekannt ist, wird nur \(t > e\) betrachtet. \(\zeta(s, w)\) wird auch nur unter diesen Einschränkungen betrachtet.
Die Bedeutung der Resultate geht aus der Gegenüberstellung mit anderen hervor:
1. Wegen der Stetigkeit von \(\zeta (s, w)\) in den Punkten \(s = 1 + it\) folgt aus ihnen
\[ |\zeta(1+it,w) -\frac1{w^s}| \le c_1\frac{\log t}{\log\log t} \,. \]
Für \(w = 1\) ist das ein Resultat von H. Weyl [Zur Abschätzung von \(\zeta(1+ ti)\). Math. Z. 10, 88–101 (1921; JFM 48.0346.01)).
2. Aus I. folgt
\[ \varDelta<c_3t ^{\left({\textstyle \frac{1-\sigma}{\log\tfrac1{1-\sigma}} \cdot}\log2\right)} \cdot\frac{\log t}{\log \log t} \]
für \(\frac12\le\sigma < 1\). Das ist schärfer als das Ergebnis von Hardy-Littlewood [J. E. Littlewood, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 20, 22–28 (1922; JFM 48.0403.05)]
\[ \varDelta<c_4t ^{\left({\tfrac{c_5(1-\sigma)}{\log\tfrac1{1-\sigma}}} \right)} \cdot\frac{\log t}{\log \log t} \]
und als die von E. Landau [Math. Z. 20, 105–125 (1924; JFM 50.0232.01); vgl. auch “Vorlesungen über Zahlentheorie” Bd. 2 (1927; JFM 53.0123.17), S. 38] dafür gegebene Verbesserung für \(\dfrac{63}{64}\le\sigma<1\):
\[ \varDelta<c_6t ^{\left({\tfrac{4(1-\sigma)}{\log\tfrac1{1-\sigma}}} \right)} \cdot\frac{\log t}{\log \log t}\,. \]
3. Sei \(\mu (\sigma)\) (Lindelöf) die untere Grenze aller \(\mu'\), für die es (bei festem \(\sigma\) und \(w\)) ein von \(t\) unabhängiges \(C\) gibt, so daß \(\varDelta < Ct^{\mu'}\) ist. Dann ist also \(\mu(\sigma)\le \lambda(\sigma)\) (\(\frac12\le\sigma<1\)). Hardy-Littlewood und Landau haben eine obere Schranke für \(\mu(\sigma)\) angegeben, \(\nu (\sigma)\), die so definiert ist: \(r\) sei ganz \(\geqq 0\), \(\varrho= 2^r\). Dann ist \(\nu (\sigma) =\dfrac1{(r+2)\varrho}\) an den Stellen \(\sigma=1-\dfrac1\varrho\), dazwischen linear \(\left(\dfrac12\leqq\sigma<1\right)\). (Vgl. z. B. Landau loc. cit. und “Vorlesungen über Zahlentheorie. (1927; JFM 53.0123.17), Bd. 2, S. 55.]
Es ist aber \(\lambda (\sigma) < \nu (\sigma)\).
4. Nur das Resultat von A. Walfisz:
\[ |\zeta(\tfrac12+it)| < c_9 t^{\frac{163}{988}} \qquad(t>e) \]
[Zur Abschätzung von \(\zeta(\tfrac12+ it)\). Nachr. Gött. 1924, 155–158 (1924; JFM 50.0229.02)] folgt nicht aus I. und II.
Der Beweis von I. gründet sich hauptsächlich auf die folgenden Sätze:
Satz 2. Wenn \(t \ge 1\), \(\frac12\le\sigma\le1\) ist, gilt
\[ \left|\zeta(s,w) -\sum_{n=0}^{E\left(t^{4/3}\right)} \frac1{(n+w)^s}\right| <c_{13}, \]
wo \(E(u)\) die nächst kleinere ganze Zahl unter \(u\) ist.
Wichtig ist der Satz von J. G. van der Corput [Neue zahlentheoretische Abschätzungen. II. Math. Z. 29, 397–426 (1928; JFM 54.0204.02)], nämlich
Satz 3: \(a\) und \(b\) seien ganze Zahlen, \(a < b\). Über \(a \le x\le b\) sei \(f(x)\) \(k\)-mal differenzierbar. Es mag zwei positive Konstanten \(r\) und \(R\) geben, so daß für alle \(x\) des Intervalls \(r \le f^{(k)}(x) \le R\) ist (oder \(-R\le f^{(k)}(x) \le -r\)). Wir setzen \(\varkappa= 2^k\). Dann ist
\[ \left|\sum_{n=a}^b e^{2\pi if(n)}\right| <c_{14}(b-a) \left\{\left(\frac r{R^2}\right)^{ -\frac{1}{\varkappa-2}} + \bigl(r(b-a)^k\bigr)^{-\frac2\varkappa} +\left(\frac R{r(b-a)} \right)^{-\frac2\varkappa}\right\}. \]
Mit Hilfe dieses Satzes wird bewiesen:
Satz 7: Es sei \(g \geqq 3\), \(\gamma = 2^g\). Wir ordnen jedem \(\sigma\) das \(g\) zu, für das
\[ 1<\frac g{\gamma-2} \le\sigma <1-\frac{g+1}{2\gamma-2} \]
ist für \(\frac12\le\sigma < 1\). Dann ist für \(t > e\):
\[ \left| \sum_{n=E(t)+1}^{E\left(t^{4/3}\right)} \frac1{(n+w)^s}\right| <c_{18}+\frac{c_{19}}g t^{\lambda(\sigma)} \log t. \]
Die linke Seite liegt außerdem unter \(\dfrac{c_{20}}{1-\sigma-\dfrac{g+1}{2\gamma-2}}\cdot t^{\lambda(\sigma)}\). Satz 3 wird auch zum Beweise des Satzes 8 gebraucht.
Satz 8:
\[ \left|\sum_{n=1}^{E\left(\tfrac{\gamma}{t^{g\gamma-\gamma+2}}\right)} \frac1{(n+w)^s}\right| < 1+ \frac{c_{25}}g t^{\lambda(\sigma)} \cdot \log t.\]
Die linke Seite ist außerdem kleiner als \(\dfrac{c_{26}}{1-\sigma-\dfrac{g+1}{2\gamma-2}}\cdot t^{\lambda(\sigma)} +1\). Die weiteren Untersuchungen dienen der Vorbereitung und dem Beweis des Satzes 13 (auch Satz 3 wird dazu wieder gebraucht).
Satz 13: Für \(t > e\) ist \[ \sum_{n=E\left(\tfrac\gamma{t^{g\gamma-\gamma+2}}\right)+1}^{E(t)} \frac1{(n+w)^s} < c_{34} \left(\frac{t^{\lambda(\sigma)}}g +\frac1{\log\log t}\right) \log t. \]
Damit sind die Mittel zum Beweise von I entwickelt. Zum Beweise von II müssen sie dann noch etwas erweitert werden.

Reviewer: Müller, Rolf (Berlin)

MSC:

11M06	\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M26	Nonreal zeros of \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\); Riemann and other hypotheses

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.

Keywords:

critical strip; Riemann zeta-function

Citations:

JFM 48.0346.01; JFM 48.0403.05; JFM 50.0232.01; JFM 50.0229.02; JFM 54.0204.02; JFM 53.0123.17