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Les fonctions de Bessel du troisième ordre. (French) JFM 56.1000.03

Verf. definiert die Besselfunktionen dritter Ordnung \(I_{m,n}\) als Koeffizienten der Entwicklung: \[ e^{\frac x3\left(u+v-\frac 1{uv}\right)}=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}u^mv^nI_{m,n}(x), \tag{1} \] somit: \[ I_{m,n}(x)=\frac{x^{m+n}}{3^{m+n}\cdot m!n!}F\left(m+1,n+1;-\frac {x^3}{27}\right), \] wo \[ F(\gamma, \delta;z)=1 + \frac z{\gamma\cdot \delta\cdot 1}+\frac {z^2}{\gamma(\gamma+1)\delta(\delta+1)1\cdot 2}+\cdots \] und \(m\), \(n\) ganze, positive Zahlen bedeuten; für beliebige \(m\), \(n\) gilt: \[ I_{m,n}(x)=\frac{x^{m+n}}{3^{m+n}\varGamma(m+1)\varGamma(n+1)} F\left(m+1,n+1;-\frac {x^3}{27}\right). \] Die \(I_{m,n}\) genügen ähnlichen Rekursionsformeln wie die Besselfunktionen und sind Lösungen der Differentialgleichung: \[ y'''+\frac 3xy''+\frac{1-3m^2+3mn-3n^2}{x^2}y'+ \left(1+\frac{(m+n)(2m-n)(m-2n)}{x^3}\right)y=0. \] Wie die Besselfunktionen \(I_{\frac 12}(x)\), \(I_{-\frac 12}(x)\) sich durch die Funktionen \(\sin x\) und \(\cos x\) ausdrücken lassen, so gilt Ähnliches von den Funktionen \(I_{-\frac 18,-\frac 28}(x)\), \(I_{-\frac 13,\frac 13}(x)\), die sich durch die Funktionen \[ \begin{aligned} &f_1(x)=\frac {e^{-x}+e^{-jx}+e^{-j^2x}}3, \\ &f_2(x)=\frac {e^{-x}+je^{-jx}+j^2e^{-j^2x}}3, \\ &f_3(x)=\frac {e^{-x}+j^2e^{-jx}+je^{-j^2x}}3,\quad j^2+j+1=0, \end{aligned} \] darstellen lassen. Aus (1) werden verschiedene Entwicklungen nach den \(I_{m,n}(x)\) abgeleitet. Mittels der Funktionen \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) lassen sich die \(I_{m,n}(x)\) als Doppelintegrale darstellen. Endlich wird der Zusammenhang mit der Lösung der Differentialgleichung \[ \frac{\partial ^3U}{\partial x^3}+ \frac{\partial ^3U}{\partial y^3} +\frac{\partial ^3U}{\partial z^3}+ U =0 \] dargetan. Zum Schluß werden die Besselfunktionen der Ordnung \(p\) definiert.

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