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Randwertaufgaben und funktionale Differentialgleichungen. (German) JFM 56.1068.01
Verf. behandelt zunächst die Randwertaufgabe \[ \varDelta u= 0 \quad \text{in} \;\left\{ \begin{matrix} \;& \quad &\l\\ -\infty<x<+\infty, & u=0 & \text{für} \;y=0,\\ 0\leqq y\leqq 1, & u_y-k=0 & \text{für} \;y=1, \end{matrix}\right. \] wobei \(k\) eine Konstante ist, und zeigt durch Anwendung eines Spiegelungsverfahrens: Jede Lösung \(u\) ist in der ganzen Ebene harmonisch und genügt als Funktion von \(y\) einer linearen funktionalen Differentialgleichung. Wendet man auf diese die von Hilb (Math. Ann. 78 (1917), 137-170; F. d. M. 46, 707 (JFM 46.0707.*)-708) bewiesenen Entwicklungssätze an, so erhält man sofort die von A. Weinstein (G. R. 184 (1927), 497-499; F. d. M. 53, 461-462) auf anderem Wege erhaltenen Resultate über die Lösungen der Aufgabe. Sodann dehnt Verf. sein Verfahren auf den Fall aus, daß für \(y=1\) eine lineare homogene Relation zwischen \(u\) und den \(n\) ersten Ableitungen von \(u\) nach \(y\) vorgeschrieben ist, und schließlich auf den Fall, daß ganz allgemein für \(y=1\) eine in \(u\) und ihren Ableitungen (nach \(y\) und \(x\)) lineare homogene Bedingung vorgeschrieben ist.

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Full Text: EuDML