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Über einige Extremalaufgaben der Potentialtheorie. (German) JFM 56.1069.03

Verf. überträgt einige funktionentheoretische Sätze aus dem Bereich des Koebeschen Verzerrungssatzes, insbesondere die Bieberbachschen Flächensätze, auf die räumliche Potentialtheorie.
\(F_0\), \(F_1\) seien zwei geschlossene analytische Flächen mit dem gegebenen Volumen \(V_0\) bzw. \(V_1\). \(F_0\) liege ganz im Innern von \(F_1\). Die Kapazität \(K\) eines solchen Kondensators
\[ K=\frac1{4\pi}\int\frac{\partial\varphi}{\partial r}d\sigma, \]
wo das Integral über eine von \(F_1\) umschlossene, \(F_0\) umschließende geschlossene Fläche zu erstrecken ist, \(\varphi\) diejenige reguläre harmonische Funktion bezeichnet, die auf \(F_0\), \(F_1\) den Wert \(0\) bzw. \(1\) annimmt, und die Normale nach außen zu nehmen ist, ist dann stets positiv, und es gilt:
\[ K\ge \frac{\left(\dfrac{3}{4\pi}\right)^{\frac13}}{V_0^{-\frac13}-V_1^{-\frac13}}; \]
das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn \(F_0\), \(F_1\) konzentrische Kugeln sind.
Aus diesem Extremalsatz über Kugelkondensatoren folgt durch Spezialisieren:
1. Unter allen analytischen Flächen mit gegebenem Volumen hat die Kugel die kleinste Kapazität. (Kapazität einer Fläche \(F =\) Kapazität des Kondensators aus \(F\) und der unendlich großen Kugel.)
2. Das Volumen \(V\) einer den Nullpunkt umschließenden analytischen Fläche wird bei gegebener Greenscher Konstante dann evn Minimum, wenn \(F\) eine Kugel um den Nullpunkt ah Mittelpunkt ist.
Die Ausdehnung des Extremalsatzes auf den Fall, daß die innere oder äußere Begrenzung des Kondensators aus mehreren geschlossenen analytischen Flächen besteht, die Beseitigung der Bedingung des analytischen Charakters der Randflächen und die entsprechende Verallgemeinerung der Sätze 1. und 2. ergeben das räumliche Analogon der beiden Bieberbachschen Flächensätze.
Die gemachten Betrachtungen lassen sich fast wörtlich auf den 2-dimensionalen Fall übertragen und liefern äußerst einfache Beweise für die Flächensätze und deren Verallgemeinerung, die von den Methoden der Funktionentheorie gänzlich frei sind und nur elementare potentialtheoretische Schlüsse erfordern.
Anschließend wird gezeigt, daß vier andere mit dem Verzerrungssatze verknüpfte Eigenschaften von ebenen Figuren im Raume ihre Gültigkeit verlieren. Zum Schluß wird eine Verallgemeinerung des Extremalsatzes gegeben, bei der vom harmonischen Charakter der Funktion \(\varphi\) abgesehen wird. (IV 5.)

MSC:

31B15 Potentials and capacities, extremal length and related notions in higher dimensions
31D05 Axiomatic potential theory
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