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Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie. I, II. (German) JFM 56.1087.01
M. Z. 32, 64-100, 729-750 (1930); Druckfehlerverzeichnis. M. Z. 32, 796 (1930).
Das vom Verf. behandelte, für die Fernsprechtechnik wichtige Problem ist das folgende: Es seien \(s\) Schalter vorhanden, vor denen innerhalb eines gewissen Zeitintervalls \(T\) stets gleichviele Personen unabhängig von einander eintreffen. Für jede dieser Personen ist jede Ankunftszeit innerhalb des Intervalls \(T\) gleich wahrscheinlich. Ferner ist die Wahrscheinlichkeit \(f(t)\) dafür gegeben, daß die Abfertigungszeit eines Schalterbesuchers \(\leqq t\) ist, sowie eine Vorschrift über die Reihenfolge bei der Abfertigung. Gefragt ist nach der mittleren Wartezeit \(\vartheta\) irgendeiner der \(n\) Personen und nach der Wahrscheinlichkeit \(\varrho(t)\) dafür, daß die Wartezeit irgendeiner Person \(\leqq t\) ist.
In der ersten Mitteilung wird die Größe \(\vartheta\) als \((2n-1)\)-faches Integral über eine abteilungsweise lineare Funktion der Integrationsvariablen direkt, d. h. ohne Kenntnis der Funktion \(\varrho(t)\), bestimmt. Dies geschieht mit Hilfe eines vielfachen komplexen Integrals, das als Verallgemeinerung, des Dirichletschen diskontinuierlichen Faktors angesehen werden kann. \(\vartheta\) ergibt sich als komplexes Doppelintegral, dessen Integrand von den Momenten von \(f(t)\), der Zahl \(n\) und einem reellen Parameter \(\eta\), dem “Ausnutzungsgrad”, abhängt. Sodann werden unter einschränkenden Voraussetzungen über \(f(t)\) mittels der Sattelpunktmethode für \(n\to\infty\) gültige asymptotische Entwicklungen von \(\vartheta\) gegeben. Die zunächst unter der Voraussetzung einer für alle Personen gleichen Abfertigungszeit abgeleiteten Ergebnisse werden dann insofern erweitert, als für die Abfertigungszeiten alle Werte eines endlichen Zeitintervalls zugelassen werden, deren jeder mit einer gegebenen relativen Häufigkeit vorkommt.
Die zweite Mitteilung befaßt sich unter Verwendung der gleichen Methoden mit der Aufstellung der Verteilungsfunktion \(\varrho(t)\) sowie deren asymptotischen Entwicklungen. Auch hier wird auf veränderliche Abfertigungszeiten verallgemeinert.

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