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Sur le problème d’interpolation. (French) JFM 56.1113.03
Aktuárské Vědy 1, 69-82 (1930).
Verf. bestimmt die allgemeinste Funktion \(F(x)\), die die Eigenschaft hat, folgende Bedingungen zu erfüllen: \[ \begin{matrix} F(a_1) & = A_{10}, & F'(a_1) & = A_{11},& \ldots, & F^{(\nu_1-1)}(a_1) & =A_{1,\nu_1-1};\\ F(a_2) & = A_{20}, & F'(a_2) & = A_{21},& \ldots, & F^{(\nu_2-1)}(a_2) & =A_{2,\nu_2-1};\\ \ldots & & \ldots & &\ldots & \ldots & \\ F(a_m) & = A_{m0}, & F'(a_m) & = A_{m1},& \ldots, & F^{(\nu_m-1)}(a_m) & =A_{m,\nu_m-1}. \end{matrix} \] Es ist \[ F(x) = \psi(x) + \sum_{\lambda\gamma} [A_{\lambda\gamma} \psi^{(\gamma)}(a_{\lambda})]g_{\lambda\gamma}(x), \] wobei \(g_{\lambda\gamma}(x)\) ein Polynom \((n - 1)\)-ten Grades ist, dessen Koeffizienten nur von den \(A_{\lambda\gamma}\) abhängen, und \(\psi(x)\) eine beliebige Funktion ist, die an den Stellen \(a_1,\ldots,a_m\), endliche Ableitungen \((\nu_{\lambda}-1)\)-ter Ordnung hat. Diesen Satz verallgemeinert Verf. noch, indem er für \(F(x)\) noch bestimmte Werte des Integrals über \(m\) aufeinanderfolgende Intervalle vorschreibt. In diesem Falle hat \(F(x)\) die Form: \[ F(x)= \psi(x) + \sum_{\lambda\gamma} [A_{\lambda\gamma} \psi^{(\gamma)}(a_{\lambda})]\cdot H_{\lambda\gamma}(x) + \sum_{i=1}^{m-1} \big[ Q_i - \int\limits_{\alpha_i}^{\alpha_i+1} \psi(y)\, dy\big] s_i(x). \] Verf. zeigt schließlich noch an einer Reihe von Fragen aus der Theorie der Interpolationen die Verwendungsmöglichkeiten obiger Resultate.