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Note sur les espaces métriques complets. (French) JFM 56.1125.02

Ein System \(\{ V\} \) von offenen Mengen \(V\) heißt ein determinierendes System (système déterminant) eines Raumes, wenn jede offene Menge des Raumes als Vereinigungsmenge von Mengen \(V\) dargestellt werden kann; es heißt abgeschlossen, wenn der Durchschnitt der abgeschlossenen Hüllen einer monoton abnehmenden Folge von Mengen \(V\) niemals leer ist. Entsprechendes ist bei Übergang zu Relativbegriffen unter dem determinierenden System einer Menge in einem Raum zu verstehen. – Verf. befreit zwei Sätze von P. Alexandroff [C. R. 178, 185–187 (1924; JFM 50.0134.01)] von der Voraussetzung der Separabilität und beweist sie in der folgenden abgeänderten Fassung (die, wie Verf. angibt, unabhängig von ihm auch F. Hausdorff gefunden, aber nicht veröffentlicht hat; vgl. ferner W. Sierpiński [Fundam. Math. 11, 203–205 (1928; JFM 54.0625.01)):
I. Dann und nur dann ist ein metrischer Raum vollständig, wenn er ein abgeschlossenes determinierendes System besitzt.
II. Dann und nur dann ist eine Teilmenge eines metrischen Raumes ein \(G_\delta \), wenn sie ein abgeschlossenes determinierendes System besitzt.

MSC:

54E50 Complete metric spaces
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